线性代数第01讲.ppt

二、二阶行列式 三、三阶行列式 四、n 阶行列式的定义 It’s The End！ Thank You！ 同理可得下三角行列式 * * Department of Mathematics 线性代数第一讲 主讲人：王修建 2010年.春学期 本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法，最后介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的Cramer法则。本章的重点内容是行列式的计算，主要是利用行列式性质和行列式展开法则。 一、全排列及其逆序数 1、定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列。(简称排列) 2、全排列数公式： （2）逆序：在 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先 后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。 例如 排列 32514 中 （1）标准次序：对于 n 个不同元素，先规定各元素之间 有一个标准次序。 例如：对 n 个不同 的自然数，可规定从小到大为标准次序。 3、排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 （3）排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数 称为此排列的逆序数。 例如 排列 32514 中 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为 ：3+1+0+1+0=5 1 分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数字个数之和，即算出排列中每个元素的逆序 数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的 逆序数. （5）计算排列逆序数的方法 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. （4）排列的奇偶性 3 2 5 1 4 于是排列 32514 的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. 解 此排列为偶排列. 4 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定 由四个数排成两行两列（横排称行、 竖排称列）的数表 定义 即 列标 行标 2 2 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 方程组的解为 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 解 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 注意1 红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号． 注意2 对角线法则只适用二、三阶行列式 三阶行列式的计算 对角线法则 解 按对角线法则，有 例 解 方程左端 由二阶、三阶行列式定义，自然会将之 推广到4阶、5阶……n阶行列式的定义： 它的值(即展开式)如何求？为此我 们研究三阶行列式的结构： 三阶行列式 说明： （2）三阶行列式共有 6 项。 （1）每项都是位于不同行不同列的 三个元素的乘积． 即每项都可以写成： （3）每项的正负号都取决于位于不同行 不同列的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 即： 说明： 1、 阶行列式展开后有 项 2、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、 不同列 n 个元素的乘积; 3、 一阶行列式 ，不要 与绝对值记号 |a| 相混淆; 4、行列式是一个实数 例1　计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零， 所以 只能等于 , 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2 计算上三角行列式: 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例3 * *