高等数学 练习1-4课件.pptVIP

一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结 作业 P43 2 3 * 第四节 无穷小与无穷大 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 2、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 证 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大. 思考题 思考题解答 不能保证. 例 有 一、填空题: 练 习 题 0 定义1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数),使得对于适合不等式(或)的一切,对应的函数值都满足不等式 , 那末 称函数当(或)时为无穷小,记作 定理1 其中是当时的无穷小. 定义2 设函数在某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数(不论它多么大),总存在正数(或正数),使得对于适合不等式(或)的一切,对应的函数值总满足不等式 , 则称函数当(或)时为无穷大,记作 若，且， 问：能否保证有的结论？试举例说明. 1、凡无穷小量皆以________为极限.