若干概率分布的正态逼近及其应用.doc

若干概率分布的正态逼近摘要在整个概率论与数理统计中,各种分布起了重要的作用,其中以正态分布最为重要.许多重要的概率分布都与正态分布密切相关此外,很多重要分布的极限分布,在一定条件下也都是正态分布;有些随机变量其分布虽然未知,但是只要满足很一般的条件,其极限分布也是正态分布.本文主要介绍了若干概率分布正态逼近概率论与数理统计关键词：常用分布正态逼近正态逼近的应用正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从态分布尽管这些现象的根本原因经常是未知的理论上可以证明如果把许多小作用加起来一个变量那么这个变量服从正态分布正态分布出现在许多区域统计: 例如,采样分布均值是近似地正态的既使被采样的样本总体并不服从正态分布另外正态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布在概率论,正态分布是几种连续以及离散分布的极限分布2.1 正态分布正态分布是最常见最重要的一种分布例如测量误差人的生理特征尺寸如身高、体重等正常情况下生产的产品尺寸直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布. 2.1.1 正态分布的定义 (2.1) 其中为常数,则称服从参数为的正态分布或高斯分布,记为：. 2.1.2 标准正态分布标准正态分布是一种特殊的正态分布当正态分布中的时这样的正态分布称为标准正态分布记为.标准正态分布的概率密度表示为 (2.2) 标准正态分布的分布函数表示为 （2.3）2.1.3 正态分布的 图1 正态分布曲线 （1）、通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称（）曲线在轴的上方与轴不相交（）曲线关于直线对称（）当时,曲线位于最高点（）当时,曲线上升（增函数）当时曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时以x轴为渐近线向它无限靠近（）一定时曲线的形状由确定越大曲线越“矮胖”总体分布越分散越小曲线越“高”总体分布越集中正态分布的特征服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定. 是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置.正态分布以为对称轴,左右完全对称正态分布的均数中位数等于描述正态分布资料数据分布的离散程度,越大,数据分布越分散,越小,数据分布越集中.也称为是正态分布的形状参数,越大,曲线越扁平,反之,越小,曲线越瘦高（3）从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为,并在时取最大值从点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近轴,但永不与轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以轴为渐近线的（4）通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特5）、标准正态曲线:当时,正态总体称为标准正态总体其相应的曲线称为标准正态曲线2.2 二项分布2.2.1 二项分布的定义 为重伯努利试验中成功（记为事件）的次数,则的可能取值为.记为每次实验中发生的概率,即,则. 因为重伯努利试验的基本结果可以记作 , 其中或者为,或者为.这样的共有个,这个样本点组成了样本空间. 下面求的分布列,即求事件的概率.若某个样本点 意味着中有个,个,所以由独立性知, 而事件中这样的共有个,所以的分布列为 这个分布称为二项分布,记为～. 2.2.2 二项分布的曲线特性 图2二项分布图 二项分布的图形有如下特征：二项分布图形的形状取决于和的大小；当时,无论的大小,均为对称分布；较小时,用泊松近似计算二项分布比较好;而当,较小时为偏态分布,较大时逼近正态分布和时,正态2.2..4 二项分布的正态中心极限定理定理一：（独立同分中心极限定理）设随机变量相互独立,： 则随机变量 （2.4） 的分布函数对于任意满足 （2.5）定理二：（李雅普诺夫Liapunov定理）设随机变量相互独立,它们具有数学期望和方差 记 若存在正数,使得当时, 则随机变量 (2.6) 的分布函数对于任意满足 (2.7) 注意：定理二表明,在定理的条件下,随机变量 (2.8) 当很大时,近似的服从正态分布当很大时 近似的服从正态分布.这就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和当很大时,就近