补充拉氏变换.doc

补充：拉氏变换 一、复数 1、定义 将的数称为复数，其中称为虚数单位，为的实部，为的虚部。可分别表示为Res=，Ims=。 2、共轭复数 设为一个复数，称为的共轭复数，记为。 3 设，是两个复数，则 （1）加减法定义 ， （2）乘法定义 3）除法定义 ） 4、复变函数的概念 设A是复平面上的一个点集，如对于A中任意的一点，有确定的复数G同它对应，则说在A上定义了一个复变函数，称为 定义：对于复数为指数复变函数。 因此，对任意的实数有： 该式也称为欧拉（Euler）公式。 二、拉普拉斯变换（LapLace 变换，简称拉氏变换） （一）、定义 设函数满足：（1）当时，；（2）当时，分段连续且 则的拉氏变换存在，且表达式记为： 相应地，为的拉氏逆变换。记为：。 例：求正弦函数的拉氏变换。 解：由欧拉公式有，，可得 解法二： 故 （二）、基本性质 1、线性性质 ； 2、微分性质 （1） 证明： （分部积分法） 一般地： （2） 一般地： 3、积分性质 证明： 令，则有，且 ，也即 ，故 4、位移性质（也称复位移性质）：； 证明：（变量替换的概念）。 5、延迟定理（也称实位移性质）： ；[注意：为正值] 证明：（时间小于零，没定义，变量替换的概念） 6、初值定理：；终值定理： （三）、常见函数的拉氏变换 1. 单位脉冲函数 2.单位阶跃函数 3.单位斜坡函数 4.指数函数 5.正弦函数 6.余弦函数 （四）、拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： （a）F(s)中具有不同的极点时，可展开为 （b）F(s)中具有多重极点时，可展开为 ，其中系数a求法同上。 例：，求拉氏反变换 解：将展开为部分分式得 因此， 例：，求拉氏反变换 解：将展开为部分分式得 因此， 例：，求拉氏反变换 解：方法一：部分分式法 因此， 方法二：拉氏变换的位移定理 根据典型信号的拉氏变换得， 例：，求拉氏反变换 解：将展开为部分分式得 因此，