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计算方法第7章常微分方程
求解之前,应检验是否满足Lipschitz条件. 如果f(x,y)对y可导,且 7.2 欧拉(Euler)方法 1.泰勒函数展开 对y(x)在xn点泰勒展开,并令x=xn+1得: 7.2.2 隐式公式及改进的欧拉方法 利用数值积分的右矩形公式得 利用数值积分的梯形公式得 得: 改进的欧拉法也可以写成: 例2(p200) : 用预估-校正法(7.14)求解例1中的初 值问题. 设 则依公式(7.14)得: 2.改进的欧拉公式的局部截断误差分析 由于 (*)- (**)得到改进的欧拉公式的局部截断误差为 类似地,梯形公式的局部截断误差为 7.3 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法 7.3.1龙格-库塔方法的构造 为了得到高阶的单步显式差分公式,我们 可以对y(x)在xn处进行泰勒展开: * 第七章 常微分方程数值解 本章研究一阶常微分方程初值问题的数值解。 常微分方程分为线性,非线性两类,线性微分 方程是非线性微分的特例.而高阶可化为一 阶方程组.若将方程组中的未知量写成一个 向量,那么本章所涉及的方程表示为 近似方法有两类: 一类是近似解析方法.如级数解法,逐次逼近法等;另一类就是数值解法,它可以给出解在一些离散点上的近似值. 在使用数值法求解之前,需要考虑解的 存在性和唯一性问题. 有如下定理: 数值解 定理7.1 设f(x,y)在D={(x,y)|a?x ?b,y?R}上有定义且连续,同时满足如下李普希茨(Lipschitz)条件 则对? ?[a, b], ?R,初值问题(7.1)在[a,b] 上存在唯一的连续可微解 y (x). (7.2)中L称为李普希茨常数. 有界,则令 则问题(7.2)一定满足Lipschitz条件.因为: 要计算出数值解,实际上就是求对应于一系列已知节点 a = x0 x1… xn= b处的函数值y0, y1,…, yn 通常采用等距节点,即取 hi = h (常数)。 记理论解为y(xn),数值解为yn, fn=f (xn, yn), 数值解 节点间距 称为步长, 略去误差项,有 假设y(x)充分连续可微.下面是导出欧拉 (Euler)方法的三种途径. 2. 数值微分 由导数的定义知:当h充分小时有: 即同样可得公式(7.5): 3 数值积分 在[xn, xn+1]上对 积分得 利用数值积分的左矩形公式得 即同样可得公式(7.5): 在公式(7.5)中分别用yn, yn+1近似代替y(xn), y(xn+1)得: (7.6)称为欧拉折线法,简称欧拉(Euler)法. 欧拉法 例1(p198):用欧拉法求解初值问题 在[0,1]上的数值解,取h=0.1,并与精确解比 较.精确解为: 因为 由欧拉法求解公式得: 解: 计算结果见p198 进一步得 这是一个隐式方法. 称为隐式欧拉法 这也是一个隐式方法,精度比欧拉法好, 但不便计算。一般用下式计算: 通常采用的算法: 称作预估-校正法, 也称改进的欧拉法 与(7.13)等价哟 计算结果见p201 解: 定义:假设 7.2.3 误差分析 则称误差 为局部截断误差。 欧拉公式的局部截断误差分析 设yn=y(xn),则有 此时欧拉公式可写成 对精确解y(x),由泰勒公式得 所以欧拉公式的局部截断误差为: 就是 (*) 所以 将K1, K2代入公式(7.14)中得 ,两边对x求导: (**) 如果单步差分公式的局部截断误差为 O(hp+1),则称该公式为p阶方法,这里p为正整 数.由此知欧拉法是一阶法,改进的欧拉法和 梯形法为二阶方法. 于是可得差分公式 其中: 由于涉及到高阶复合函数的导数,计算较 困难.下面介绍如何化解此困难.
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