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课题13 平面向量的概念及线性运算 复习目标： 1．理解向量的有关概念; 2．掌握向量的加法、减法、数乘及其运算法则; 3．理解向量共线的充要条件; 4．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题． 基础练习 1．下列命题正确的是 （1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）的充要条件是且 （4）共线向量即为平行向量 2．若ABCD是正方形，E是DC的中点，且，则 。 向量，则的最大值和最小值分别是___________. 4.已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则= 。 知识梳理 1. 向量的概念： ①数学中我们把既有 又有 的量叫向量（比物理里的矢量取名更直接）. ②长度为0的向量叫 向量; 长度为1个单位长度的向量，叫 向量. ③方向相同或相反的非零向量叫 向量；也叫 向量(因为平行向量都可移到同一直线上).　 ④长度相等且方向相同的向量叫 . 思考 平行向量是否一定方向相同？（ 不） 不相等的向量是否一定不平行? （ 定） 2.向量的线性运算 10. 加法 已知向量、在平面内任取一点， 作＝，＝，则向量叫做与的和; 或：由同一点为起点的两个已知向量、为邻边 作平行四边形OABC，则以为起点的向量就是向量、的和. 向量加法的满足交换律：+=+; 结合律：(+) +=+ (+) 20. 减法. 与 、　　　　　　向量，叫做的相反向量,记作 零向量的相反向量是 , , 若与互为相反向量,则, 求两向量差的运算叫减法运算 即减去一个向量等于加上这个向量的　　　　 30. 数乘. .实数与向量的积是一个　 　　，记作　　　　，它的模与方向规定如下： 　 １）　 　　　； 2） ＞０时,的方向与　的方向相同；当＜０时, 的方向与　　的方向相反； 运算律：　 　　； =　　　　　； =　　　　　. 3. 向量共线的充要条件 向量 ()、，如果有一个实数,使,则与　　 反过来，已知与共线，，且向量的长度是向量的倍，即， 当与同方向时，有；当与反方向时，有． 向量共线定理： 向量 ()与向量共线的充要条件是: 当且仅当有唯一实数，使　　 　　　. 典型例题 例给出下题：若|＝|，则；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件若，，则，=的充要条件是|=||且//；若，，则，其中正确的序号是中，，，分别是、的中点， 若，，用，表示、、． 例3．（1）设两个非零向量、不共线，如果,, 求证：三点共线. （2）设、是两个不共线的向量，已知,, 若三点共线，求的值. 作业（13） 1.下列算式中正确的是 （填序号）. ①++=0 ②-= ③0·=0 ④（a）=··a 2．化简以下各式： ①；②；③；④．其结果为的个数是 。 3下列命题正确的是 。 (1)向量的长度与向量的长度相等 (2)两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 (3)非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 (4)若平行且平行，则平行 4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，则= . 5.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是 . 6.若，，，，则四边形形状是 。 7. 若＝3e1，＝－5e1，且与的模相等，则四边形ABCD是________． 设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中点， N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则可用a、b表示为________． 10.经过重心的直线与分别交于点，， 设，，求的值。 11.设非零向量、