04－第5讲无穷小量.ppt

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第八讲 无穷小量、无穷大量 第三章 函数的极限与连续性 本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和 “ε－X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。 第二章 函数的极限与连续性 第四节 无穷小量、无穷大量 一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量 一、无穷小量及其运算性质 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量. 例1 在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 1.无穷小量的定义 定义 2. 函数的极限与无穷小量的关系 分析 反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. 定理 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 3.无穷小量的运算法则 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量. 例2 证 证明 有界量与无穷小量的乘积 (i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x?(0, 1). (ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论. 注意： 例3 解 二. 无穷大量 定义 1.无穷大量的定义 例4 (iii), (iv) 自己画画图会更清楚. 例5 解 无穷大量是按绝对值定义的. 例6 无穷大量是否一定是无界量 ? 在某极限过程中, 无界量是否一定是无穷大量 ? 但该数列是无界的. 当 x ? ? 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？ 因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. 2. 无穷大量与无穷小量的关系 ( 无穷大量的倒数为无穷小量, x ? 0 ) ( 无穷小量的倒数为无穷大量, x ? 0 ) 则 例7 在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明. 定理 不是无穷大量 是无穷大量 例8 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量? 考察 例9 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: *