07－第06讲函数的连续性整理.ppt

在 x = 0 处无定义, 又 不存在, 故 x = 0 为函数的第二类间断点. 看看该函数的图形. 例9 解 O ?1 1 x y 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在 左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡 连续函数的运算 及其基本性质 1.四则运算的连续性 2.反函数的连续性 3.复合函数连续性 4. 初等函数的连续性 回忆函数极限的四则运算 则 的极限存在 、 函数 时 设当 ) ( ) ( , 0 x g x f x x ? 回忆函数极限的四则运算 则 现在怎么说? 的极限存在 、 函数 时 设当 ) ( ) ( , 0 x g x f x x ? 0 )] ( ) ( [ ) ( ) ( 0 0 x x x g x f x g x f = ± = ± , ) ( ) ( 0 处连续 在点 、 设函数 x x g x f 1.连续函数的四则运算 设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 则 即 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即 (2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即 (3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即 反函数的连续性 y = f －1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180o 而成, 故单调性、连续性仍保持. 从几何上看: x = f －1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 连续性保持. 从而, 单调性、 设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加 (减少) 且连续, 则其反函数 在相应的 区间 I* = { y | y = f (x) , x?I } 上严格单调增加 (减少) 且连续. 定理 3 (反函数连续性定理) x y 1 ?1 O x y 1 ?1 O 例11 设函数 u = ? (x) 在点 x0 处连续, 且 u0 = ? (x0) , 函数 y = f (u) 在 u0 处连续. 若复合函数 y = f (? (x)) 在 U(x0) 内 则 y = f (? (x)) 在 x0 点处连续. 有定义, 这个条件有必要吗？ 定理 4 (复合函数连续性定理) * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第十二讲 函数的连续性 第二章 函数的极限与连续性 第八节 函数的连续性及其性质 一、连续函数的概念 二. 函数的间断点 连续函数的运算 及其初等函数的连续性 四.连续函数在闭区间上的性质 一、连续函数的概念 极限形式 增量形式 1.连续性概念的增量形式 在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 ? u1, 称为变量 u 在 u1处的 增量, 记为 ?u = u2－u1. 定义 ?u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 ?u 为变量 u 在 u1 处的差分. 设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, x?U(x0) , 则称 ?x = x ? x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. = f (x0 + ? x) ? f (x0 ) ?y = f (x) ? f (x0 ) ?x ?y O x0 x x y y = f (x) 此时, x = x0 + ?x , 相应地, 函数在点 x0 点处 有增量 ? y 连续性概念的增量形式 则称 f (x) 在点 x0 处连续. 设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若 定义 自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零. 设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的. 2.函数连续性的定义 (极限形式) 函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的. 定义 是整个邻域 函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? ? 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续. 又 且 ? y = x