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训练3 导数及其应用
(参考时间:80分钟)
一、填空题
1.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x0-3)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为________.
2.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________.
3.已知函数f(x)的图象过点(0,-5),它的导数f′(x)=4x3-4x,则当f(x)取得最大值-5时,x的值应为________.
4.三次函数f(x)=mx3-x在R上是减函数,则m的取值范围是________.
5.函数f(x)=x+2cos x在区间[0,π]上的最大值为________.
6.(2012·常州期末调研)设mR,已知函数f(x)=-x3-2mx2+(1-2m)x+3m-2,若曲线y=f(x)在x=0处的切线恒过定点P,则点P的坐标为________.
7.(2012·南通调研)设P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是________.
8.(2012·苏锡常镇调研)已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为________.
9.(2012·镇江质量检测)已知函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则函数g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y=________.
10.(2012·盐城模拟)设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0.则不等式f()>
f()的解集为____________.
二、解答题
11.(2012·徐州质检)在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱,其轴截面如图所示.设三个圆柱体积之和为V=f(h).
(1)求f(h)的表达式,并写出h的取值范围;
(2)求三个圆柱体积之和V的最大值.12.(2012·无锡期末)已知函数f(x)=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0,f′(x)为f(x)的导函数,g(x)=a·ex(a,b,cR).
(1)求b,c的值;
(2)若存在x0(0,2],使g(x0)=f′(x0)成立,求a的范围.13.已知函数f(x)=mx2-x+ln x.
(1)当m=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使得该函数在区间D上为减函数,求实数m的取值范围;
(3)当m>0时,若曲线C:y=f(x)在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点,求m的值.14.(2012·江苏)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
训练3 导数及其应用
1.解析 由导数的几何意义可知,f′(x0)=(x0-3)(x0+1)2≤0,解得x0≤3,即该函数的单调递减区间是(-∞,3].
答案 (-∞,3]
2.解析 由条件y′=-4x2+b,Δ=0+16b>0,得b>0.
答案 (-2,-1)
3.解析 易知f(x)=x4-2x2-5,令f′(x)=0,解得x=0或x=±1,经计算只有f(0)=-5.
答案 0
4.解析 因为是三次函数,所以m≠0,又f′(x)=3mx2-1≤0在R上恒成立,所以m<0.
答案 (-∞,0)
5.解析 f′(x)=1-2sin x,由f′(x)=0得,x=或,又f(0)=2,f=+,f=-,f(π)=π-2,故所求最大值为+.
答案 +
6.解析 因为f′(x)=-3x2-4mx+1-2m,所以f′(0)=1-2m,又f(0)=3m-2,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-(3m-2)=(1-2m)x,即为m(2x-3)+y-x+2=0,恒过即P.
答案
7.解析 因为y′=x (x+1)+=+≥2=,(当且仅当x=时,“=”成立)设点P(x,y)(x>0),则在点P处的切线的斜率k≥,所以tan θ≥,又θ[0,π),故θ.
答案
8.解析 因为函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,所以函数g(x)=ax3+bx在[0,1]上的最大值为2,而g(x)是奇函数,所以g(x)在[-1,0]上的最小值为-2,故f(x)在[-1,0]上的最小值为-2+2-1=-.
答案 -
9.解析 因为函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,所以f(2)=3,f′
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