云南省2015届人教版高三数学专题复习：不等式的性质与证明[来源：学优高考网229888].docVIP

高三数学复习之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a0,b0时，abanbn； 当a0,b0时，aba2b2；a2b2|a||b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由2推得的应该是：x或x0，而由2推得的应该是： 0x（别漏了“0x”）等。 若=,则的值域为 ；的值域为 。 解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)0即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)3，分两段取倒数即03-f(x) 3得或3-f(x)0得0, ∴g(x)∈(-,0)∪(,+)；f(x)+3301h(x)。 若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 下列命题：①若ab,则ac2bc2；②若ac2bc2,则ab；③若ab,cd则a-db-c； ④若ab,则a3b3；⑤若ab,则⑥若ab0,则a2abb2； ⑦若ab0,则|a||b|；⑧若ab0,则；⑨若ab且,则a0,b0； ⑩若cab0,则；其中正确的命题是 。 若abc且a+b+c=0，则：①a2ab，②b2bc，③bcc2,④的取值范围是：(-,1)， ⑤的取值范围是：（-2，-）。上述结论中正确的是 。 2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。 已知函数，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是： 　　　　　　　　。 解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c≤－1 ①； 2≤4a+c≤3 ② 由①得： 1≤－a－c≤2 ③ 4≤－4a－4c≤8 ④ 由③+②得：1≤a≤ ⑤ 由④+②得： ≤c≤－2 ⑥ 由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13 ⑦，即≤f(3)≤13。错误的原因在于： 当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立，此时，a=1，c=－2； 当且仅当－4a－4c=8 且4a+c=3 时⑥式中的=c成立，此时，a=，c=； 可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。 正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8 ∴7≤f(3)≤。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1， c=－2时，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=，c=时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。 注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。 设正实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则+的最大值是： A． B． C． D． 3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy≥0 |x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|； xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y| |x+y|=|y|-|x|。 若m0,则|x-a|m和|y-a|m是|x-y|2m的 A．充分而不必要条件， B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件。 解析：|x-a|m且|y-a|m，则|x-y|=|x-a+a-y|≤|x-a|+|y-a|2m；而当m=4,x=9,y=2,a=2时， |x-y|=72m,但|x-a|=7m,∴|x-a|m和|y-a|m是|x-y|2m的充分而不必要条件,选A。 不等式|2x-log2x|2x+|log2x|的解集为 。 解析：x0，不等式|2x-log2x|2x+|log2x|等价于：|2x-log2x||2x|+|log2x|2xlog2x0 log2x0x1 ∴不等式的解集为（1，+)。 a,b都是非零实数，下列四个条件：①|a+b||a|+|b|；②|a+b||a|-