1993考研数真题及解析.doc

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) ＿＿＿＿＿＿. (2) 函数由方程所确定,则＿＿＿＿＿＿. (3) 设,则函数的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4) ＿＿＿＿＿＿. (5) 已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为,则＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当时,变量是 ( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大 (2) 设 则在点处函数 ( ) (A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续 (3) 已知 设,则为 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 设常数,函数在内零点个数为 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若,在内,则在内 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1) 设,其中具有二阶导数,求. (2) 求. (3) 求. (4) 求. (5) 求微分方程满足初始条件的特解. 四、(本题满分9分) 设二阶常系数线性微分方程的一个特解为,试确定常数,并求该方程的通解. 五、(本题满分9分) 设平面图形由与所确定,求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积. 六、(本题满分9分) 作半径为的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积最小,并求出该最小值. 七、(本题满分6分) 设,常数,证明. 八、(本题满分6分) 设在上连续,且,证明：,其中. 1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解. . (2)【答案】 【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程两边对求导,得 , 化简得 . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . (3)【答案】 【解析】由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性. 将函数两边对求导,得 . 若函数严格单调减少,则,即. 所以函数单调减少区间为. 【相关知识点】函数的单调性：设函数在上连续,在内可导. 如果在内,那么函数在上单调增加； 如果在内,那么函数在上单调减少. (4)【答案】 【解析】 . (5)【答案】 【解析】这是微分方程的简单应用. 由题知 ,分离变量得 ,两边对积分有 . 由分部积分法得 因为曲线过点,故,所以所求曲线为 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D) 【解析】因为当时,是振荡函数,所以可用反证法. 若取 ,则, ,则. 因此,当时,有及,但变量或等于0或趋于,这表明当时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确. (2)【答案】(A) 【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在处连续,则有 . 由题可知 , . 因在处左右极限不相等,故在处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D) 【解析】这是分段函数求定积分. 当时,,故,所以 . 当时,故,所以 . 应选(D). (4)【答案】(B) 【解析】判定函数零点的个数等价于判定函数与的交点个数. 对函数两边对求导,得 . 令,解得唯一驻点, 即 所以是极大值点,也是最大值点,最大值为. 又因为 , 由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同). 故函数在内零点个数为2,选项(B)正确. (5)【答案】(C) 【解析】方法一：由几何图形判断. 由知为奇函数,图形关于原点对称； 在内图形