2006考研数真题及答案解析.doc

2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） 【分析】 本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 . （2） 微分方程的通解是 【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 ， 两边积分得　，整理得 　　　　　　　.（） （3）设是锥面的下侧，则 . 【分析】 本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面：，取上侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 设：，取上侧，则 　　　　 　. 而　＝， 　　. 所以　. （4）点到平面的距离. 【分析】 本题直接利用点到平面距离公式 　　　　　　　 进行计算即可.　其中为点的坐标，为平面方程. 【详解】 . （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以. （6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 . 【分析】 利用的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，具有相同的概率密度 　　　　　　　　　　　　. 则　 . 【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 　　　　　　 　　　　　则　. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . 　　　　　(D) 　 . 　　 [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时， ，故应选(Ａ). （8）设为连续函数，则等于 （Ａ）. （B）. (C)　.　　(D) . [ Ｃ ] 【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域如右图所示，显然是型域，则 　　　　　　原式. 故选（Ｃ）. （9）若级数收敛，则级数 (A) 收敛 . 　　　　　　　（B）收敛. (C) 收敛. 　　　　　 (D) 收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ). 　　　　　或利用排除法： 　　　　　取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 　　　　　取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 　若，则. (D) 　若，则. 　　　　　　　　　 [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 . 消去，得 　　　　　　　, 整理得　.（因为）， 若，则.故选（Ｄ）. （11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 若线性相关，则线性相关. 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. [ C ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记，则. 所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ). （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）. （Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　Ｂ　］ 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得 　　　　， 而　，则有.故应选（Ｂ）. （13）设为随机事件，且，则必有 (B) (C)　 　 (D) [ B ] 【分析】 利用