2007考研数真题及答案解析.doc

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当时，有；； 利用排除法知应选(B). (2) 曲线，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为，所以为垂直渐近线； 又 ，所以y=0为水平渐近线； 进一步，=， = =， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：， F(3)是两个半圆面积之差：=， 因此应选(C). (4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是 (A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在 [ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且 =存在，但在x=0处不可导。 (5) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是 (A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散.　 [ D ] 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D). (6) 设曲线具有一阶连续偏导数)，过第 = 2 \* ROMAN II象限内的点M和第 = 4 \* ROMAN IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 [ B ] 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。 【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： ; ; ; . 故正确选项为(B). (7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ A ] 【详解】用定义进行判定:令 ， 得 . 因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵, , 则A与B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (A) ．　　　　(B) . (C) ．　　 (D) ．