2007年考研学三真题及完整解析.doc

2007年研究生入学考试数学三试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当时，与等价的无穷小量是 （A） （B） （C） （D） [ ] （2）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则 . （B）若存在，则 （D）若存在，则. [ ] （3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B) （C） （D） [ ] （4）设函数连续，则二次积分等于 （A） （B） （C） （D） （5）设某商品的需求函数为，其中分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线的渐近线的条数为 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) (B) (C) . (D) . [ ] （8）设矩阵，则与 (A) 合同且相似（B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为 （A）. （B）. （C）. （D） [ ] （10）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） __________. （12）设函数，则________. （13） 设是二元可微函数，，则 __________. （14）微分方程满足的特解为________. （15）设矩阵，则的秩为 . （16）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分) 设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性. （18） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，其中. （19） (本题满分11分) 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得. （20） (本题满分10分) 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间. （21） (本题满分11分) 设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解. （22） (本题满分11分) 设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （ = 1 \* ROMAN I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量； （ = 2 \* ROMAN II）求矩阵. （23） (本题满分11分) 设二维随机变量的概率密度为 . （ = 1 \* ROMAN I）求； ( = 2 \* ROMAN II) 求的概率密度. 2007答案 1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当时，，，， 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上，， 或. 所以应选（B） 【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的