D3_2洛必达法则和泰勒公式.ppt

复 习 说明: 2) 若 3) 有时用洛必达法则并不简单 . 例2. 三、其他未定式: 例5. 求 例6. 求 内容小结 第三节 一、泰勒公式的建立 1. 求 n 次近似多项式 2. 余项估计 泰勒(Taylor)中值定理 : 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 特例: 在泰勒公式中若取 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 例2. 用近似公式 2. 利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 内容小结 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 ) 泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 泰勒 (1685 – 1731) 麦克劳林 (1698 – 1746) 作 业 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 . 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 例如 6 4 2 2 4 6 4 2 2 4 O 6 4 2 2 4 6 O 4 2 2 4 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . P138： 1(5)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16). P145：1; 5; 7; *10 (2). 第三节 运行时，点击相片, 或按钮“洛必达”, 或 “洛必达法则” ，可显示洛必达简介，并自动返回。 运行时, 点击按钮“例5”, 或“利用例5”, 可看例5的画面. 运行时, 点击“二. 拉格朗日中值定理”, 或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。 对第一题, 运行时点击按钮“说明3)”, 可显示有关的说明. 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. * 证明见江泽坚“数学分析”（上册） * 目录 上页 下页 返回 结束 若 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，那么 至少存在一点 使 拉氏 一、拉格朗日中值定理 或 例. P134：7，14. 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 ) 二、洛必达法则: 洛必达 例如, 事实上 用洛必达法则 1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 极限不存在 不能用洛必达法则 ! 即 说明3) 原式 分析: 4) 用洛必达法则时，要注意技巧，往往要结合无穷小代换. 分析: 原式 ～ ～ 洛 解: 原式 = 第三节 洛 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例4. 求 解: 原式 洛 解: 原式 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 洛 解: 利用 例4 例5 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 洛必达法则 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用 目的－用多项式近似表示函数. 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三章 特点: 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 要求: 故 令 则 令 (称为余项) , 则有 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 泰勒 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 注意到 ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 其中 麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 麦克劳林公式 类似可得 其中 其中 麦克劳林公式 已知 其中 因此可得 麦克劳林公式 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3)