四元数.ppt

Lecture 11 -- Quaternion * * Review Computing a vehicle’s attitude by solving where using Peano-Baker solution or using numerical integration. Quaternions in SINS 四元数在捷联惯导系统中的应用 Outline 四元数的定义 四元数的运算 利用四元数进行旋转变换 利用四元数进行旋转合成 捷联惯导系统基于四元数的姿态微分方程求解 1.0 Hamilton 和四元数 四元数: 描述刚体的转动 (by Hamilton) 理论上的突破 -- 1843.10.16 2005 朝拜之旅 “Here as he walked by on the 16th of October 1843, Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication carved on a stone on the bridge ” 在捷联惯性导航及图像处理中应用的优势 n 1.1*四元数(quaternions)定义 一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转过特定角度可达到任何姿态 转轴的方向可以表示成一个单位矢量: 则描述该转动的四元数可以表示成: 四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值. 1.2 四元数的组成 四元数的表示： λ ----- 标量部分 ---- 矢量部分 包括一个实数单位 1 和三个虚数单位 i, j, k 另一种表示法: , P 代表矢量部分 Outline 四元数的定义 四元数的运算 利用四元数进行旋转变换 利用四元数进行旋转合成 捷联惯导系统基于四元数的姿态微分方程求解 2.1*加法和减法 加法和减法： 或简写成： 2.2 虚数单位的乘法规则 i, j, k 在乘法运算中的规则: 对比 Hamilton 的公式 2.3*四元数乘法 或简单地表示成： 2.3 四元数乘法自定义函数 function [q1]=qmul(q, m) lm=q(1); p1=q(2); p2=q(3); p3=q(4); q1=[lm -p1 -p2 -p3 p1 lm -p3 p2 p2 p3 lm -p1 p3 -p2 p1 lm]*m; a=[1 2 2 3]; b=[2 4 2 3]; q=qmul(a,b) q = -0.7796 0.3282 0.4924 0.2052 2.3*四元数乘法表示符号 ※四元数乘法的符号 ※关于交换率和结合律 2.4*共扼和范数 共扼四元数的定义 ------ 两个四元数的标量部分相同，向量部分相反 q 和 q* 彼此互为四元数. 可以证明： 四元数的范数 --- 定义成 , 则 q 成为规范化的四元数 若 是规范化的 2.5*四元数的逆和除法 若 则 q1 和 q2 彼此互为逆, 写为 和 因为 除法: 没有具体意义 或 function [qi] =qinv(q) % inverse of quaternion qn=norm(q); q(2:4)=-q(2:4); qi=q/qn^2; Outline 四元数的定义 四元数的运算 利用四元数进行旋转变换 利用四元数进行旋转合成 捷联惯导系统基于四元数的姿态微分方程求解 3.1*矢量的旋转 如果矢量 R 相对固定坐标系旋转, 并且该旋转可以用四元数 q 描述，新矢量记为 R’， 则 R 和 R’ 之间的变换可以表示成下述四元数运算: 含义: 矢量 R 相对固定坐标系旋转， 旋转的角度和轴向由 q 决定 上述运算中, R 被当成一个标量部分为零的四元数，即： 3.2*坐标系的旋转 一个矢量 V 相对于坐标系 OXYZ 固定 : 从坐标系 OXYZ 转动了 q, 得到一个新坐标系 OX’Y’Z’ . V 分解在新坐标系 OX’Y’Z’ 中 矢量 V 在两个坐标系之间的坐标变换: 记： 则 分别称为 V 在两个坐标系中的映像. 和 3.3 四元数和方向余弦 ---- 表示坐标系旋转, 其中 q 和 C 之间是什么关系 ? 假设 则 应用四元数乘法, 得到 3.3 四元数和方向余弦 方向余弦矩阵 3.4 四元数转动变换的两种形式 如果一个矢量 V 固定，坐标系旋转按照四元数 q 进行了旋转，得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达式间的关系借助映像方式可以表示为： 如果一个坐标系固定, 一个