复变函数复习题2008.ppt

* * 考试安排 考试时间: 一、 2008 年 11 月 24 日 晚上 考试地点: 答疑时间: 二、 2008 年 11 月 21 日 下午 晚上 11 月 22 日 上午 下午 11 月 23 日 上午 下午 答疑地点: 科技楼 805 计算数学教研室 主要内容 一、复数的几种表示及运算，区域，曲线；初等复变函数。 二、柯西-黎曼方程：(1) 判断可导与解析，求导数； 七、Fourier变换的概念，δ函数，卷积。 三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。 四、洛朗展式。 五、留数：(1) 计算闭路积分； 六、保形映射：(1) 求象区域； 八、利用Laplace变换求解常微分方程(组)。 (2) 构造解析函数。 (2) 计算定积分。 (2) 构造保形映射。 一、填空题。 (1) 的模为 ，辐角主值为 .。 . (2) 的值为 的值为 ，. .。 (3) 伸缩率为 处的旋转角为 映射w = z3 - z 在z = i .。 ，. (4) 在区域D内解析的 函数 .。 充要条件为 (7) .。 (5) 在 z0 = 1+i 处展开成泰勒级数的 .。 收敛半径为 (6) z = 0 是 (何种类型的奇点)。 . 的 ? (8) ， 已知 .。 求 四、计算下列各题： 2. 3. 4. 1. 二、 验证 z 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数，使 是 。 三、将函数 在 与 洛朗级数。 处展开为 五、求区域 在映射 下的像。 八、设函数 在 上解析，证明： 七、用拉氏变换求解方程： 六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。 i -i 二、 验证 z 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数，使 是 。 故 u(x,y) 为调和函数 (1) 解: (2) 方法一 二、 验证 z 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数，使 是 。 解: 故 u(x,y) 为调和函数 (1) (2) 方法二 三、将函数 在 与 洛朗级数。 处展开为 解: (1) 在 z=1 处 1 2 三、将函数 在 与 洛朗级数。 处展开为 解: (2) 在 z=2 处 1 2 四、 1. 解: 方法一: 利用留数求解 z=0 为二级极点, 方法二: 利用高阶导数公式求解 四、 2. 解: z=1 为本性奇点, 四、 3. 解: 四、 4. 解: 五、求区域 在映射 下的像。 解: (z) (w) 0 1 ∞ 0 i ∞ ∞ ∞ i/2 1+i (1+i)/2 i 2 1 六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。 i -i (z) (w) (z2) (z1) 七、用拉氏变换求解方程： (1) 对方程两边取拉氏变换得： 解： (2) 求拉氏逆变换 方法一：利用部分分式求解 (2) 求拉氏逆变换 方法二：利用留数求解 一阶极点 二阶极点， 八、设函数 在 上解析，证明： 证明： (1) 奇点 由于 (2) 左边= (7) 0; (8) 一、(1) 1,π; (2) (5) ; (4) u,v 在D内可微，且满足C—R方程 (3) π,4 ; (6) 可去奇点