贵州省贵阳市高考数学专题复习 角度制弧度制同角三角函数学案11.doc

专题任意角的三角函数 1.知识积累 1. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 2. 任意角的三角函数的定义: 如图，在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；；。 利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)比值叫做的正弦(sine),记作,即； (2)比值叫做的余弦(cossine),记作,即； (3)比值叫做的正切(tangent),记作,即。 (4)比值叫做的余切,记作，即；(了解) (5)比值叫做的正割,记作，即；(了解) (6)比值叫做的余割,记作，即．(了解) 说明: (1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数． (2)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三个值都是唯一确定的实数. (3)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值. (4)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. (5)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关． 3. 三角函数的定义域,函数值的符号 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 归纳口诀：一全正，二正弦、三余弦、四余弦。该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值． 4. 诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有： ，，，其中 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成,；(2)转化为锐角三角函数。 5. 各特殊角的三个三角函数值 角度α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度α 0 π 2π sin α 0 1 0 －1 0 cos α 1 0 - - - －1 0 1 tan α 0 1 不存在 - -1 - 0 不存在 0 6. 三角函数线的定义： 以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定： 当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有 同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点， 规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标 这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。 如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线，即sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.。 注： ①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。 ③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。 ④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 ⑤三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT