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絕對收斂 至今，我們所考慮的級數為每項都為正的級數與正負交錯的級數。 現在考慮級數 藉由計算機的幫助，我們可證明此級數的第一項為正，接下來的兩項都為負，再下一項為正。 絕對收斂 所以此級數既不是每項都是正的級數，也不是交錯級數。 為了研究這類級數的收斂性，我們介紹絕對收斂（absolute convergence）的概念。 假設 為任意級數，則此級數改寫為 即將給予之級數的每項都取絕對值。 絕對收斂 此級數只有正項，所以可使用9.3 節與9.4 節的檢驗來判斷它為收斂或發散。 注意若級數? an的每項都為正，則| an | = an 。 這種情形下，絕對收斂與一般收斂是完全相同的。 例題 1 證明級數 為絕對收斂。 解： 將級數的每項取絕對值，則 例題 1－解 為收斂的p 級數（p = 2）。 所以此級數為絕對收斂。 絕對收斂 下面的定理說明絕對收斂比一般收斂更強。 比例檢驗 比例檢驗（Ratio Test）是為了判斷級數是否為絕對收斂的檢驗。 當然對於各項都為正的級數而言，此比例檢驗也只不過是另一種級數收斂性的檢驗。 為了探討此比例檢驗的可行性，考慮級數? | an | 的連續項的比例： 比例檢驗 若此數列的各項都小於1，則級數? | an |的各項也都像0 r 1 的幾何級數的各項，並可期待此級數為收斂。 比例檢驗 換言之，若此數列的各項都大於1，則可期待此級數為發散。 例題 4 判斷級數 為絕對收斂、條件 收斂或發散。 解： 使用比例檢驗並取an = (?1)n?1(n2 + 1)/2n。 例題 4－解 所以由比例檢驗得知此級數為絕對收斂。 根式檢驗 當級數的第n 項有n 次冪，則下面的檢驗特別有用。它的證明類似比例檢驗的證明，所以省略。 例題 7 判斷級數 為絕對收斂、條件 收斂或發散。 解： 使用根式檢驗並取an = (?1)n?12n+3/(n + 1)n，則 例題 7－解 結論為此級數為絕對收斂。 判斷級數為收斂與發散的檢驗的摘要 判斷級數為收斂與發散的檢驗的摘要 判斷級數為收斂與發散的檢驗的摘要 判斷級數為收斂與發散的檢驗的摘要 級數的重組 級數的項數為有限時，它各項的位置重組不會影響到它的和。 然而對級數的項數為無限的情況就會變得更複雜。 下面的例題說明收斂級數若經過重組後可能出現不同的和！ 例題 8 考慮收斂到ln 2 的交錯調和級數（見9.8 節的習題28 題）： 若將此級數重組為每個正項後面接兩個負項的級數，可得 例題 8 因此，重組後的級數和為原級數和的一半！ 無窮數列與級數 9 ? 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part. Tan 微積分 9.6 絕對收斂；比例檢驗與根式檢驗 * Tan/微積分-Ch9.6-p497 Tan/微積分-Ch9.6-p497 Tan/微積分-Ch9.6-p497 定義絕對收斂級數 若級數?|an| 收斂，則級數?an為絕對收斂（absolute convergence）。 Tan/微積分-Ch9.6-p497 Tan/微積分-Ch9.6-p497 Tan/微積分-Ch9.6-p498 定理1 若級數?an 為絕對收斂，則它一定收斂。 定義 條件收斂級數 若級數?an 為收斂但並不是絕對收斂，則它稱為條件收斂 （conditional convergent）。 Tan/微積分-Ch9.6-p499 Tan/微積分-Ch9.6-p499 Tan/微積分-Ch9.6-p499 定理2 比例檢驗 令?an 為各項都非零的級數。 若 ，則 絕對收斂。 若 或 ，則 發散。 若 ，則此檢驗沒有結論，並得用其他的檢 驗。 Tan/微積分-Ch9.6-p501 Tan/微積分-Ch9.6-p501 Tan/微積分-Ch9.6-p502 定理3 根式檢驗 令 為級數。 若