差分方程.ppt

第八节 差分方程 一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 (2) f (x) = Cbx 四、二阶常系数线性差分方程 (1) f (x) = b0 + b1x + ??? +bmxm (2) f (x) = Cqx * 一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, ???, 数学上把这种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度. 定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差 yx+1 ? yx 称为函数 yx 的一阶差分, 记为?yx, 即 ?yx = yx+1 ? yx. ?(?yx) = ? yx+1 ? ? yx = (yx+2 ? yx+1) ? (yx+1 ? yx) = yx+2 ? 2 yx+1 + yx 为二阶差分, 记为?2 yx, 即 ?3yx = ?(?2yx), 同样可定义三阶差分?3yx, 四阶差分?4yx, 即 ?4yx = ?(?3yx) . ?2 yx = ?(?yx) = yx+2 ? 2 yx+1 + yx 例1 求?(x3), ?2(x3), ?3(x3), ?4(x3). 解 ?(x3) = (x + 1)3 ? x3 = 3x2 + 3x + 1, ?2(x3) = ?(3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 ? (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, ?3(x3) = ?(6x + 6) = 6(x + 1) + 6 ? (6x + 6) = 6, ?4(x3) = ?(6) ? 6 = 0. 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, ?yx, ???, ?n yx) = 0. (1) 差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含有差分. 式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程. 例2 将差分方程 ?2yx + 2?yx = 0 表示成不含差分的形式. 解 ?yx = yx+1 ? yx , ?2yx = yx+2 ? yx+1 + yx , 代入得 yx+2 ? yx = 0. 由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程. 定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称为差分方程. 其一般形式为 G(x, yx, yx+1, ???, yx+n) = 0. (2) 定义3中要求 x, yx, yx+1, ???, yx+n不少于两个. 例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则称差分方程为n 阶差分方程. 定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 ? yx = 2的解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 ? yx = 2x + 3 ? (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 ? yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程的通 解. 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yx+1 ? ayx = f (x). (3) 其中 a 为不等于零的常数. 称为齐次