归纳法 公开课.ppt

* 临淄中学 高二数学组 一、设问激疑，创设情景： 问题1：今天早晨，据观察第一个到教室的是男同学，第二个到教室的也是男同学，第三个到教室的还是男同学，于是得出：这个教室里的学生都是男同学。 问题2：在观察到教室的学生时，若知道男同学的后面一定跟着男同学，能否断定教室里的学生都是男同学？ 问题3：如果观察到第一个到教室的是男同学，并且确定男同学的后面一定跟着男同学，能否断定教室里的学生都是男同学？ 思考：以上结论正确吗？为什么？ 问题4：对于数列 则求 思考：我们只能肯定前4项成立，后续项是否成立？猜想还有待严格的证明，但这个猜想为我们的研究提供了一种方向。同学们能否寻求一种方法：通过有限的步骤推理，证明n取所有的正整数都成立？ 猜想，数列的通项公式为： 二、实验演示 探究问题 实例：多米诺骨牌游戏演示(视频) 小组合作：在这个游戏中能使所有多米诺骨牌 全部倒下的条件是什么？ 结论：小木块全部倒下满足的条件 （1）第一块倒下； （2）假若前一块倒下，则后一块也必倒下。 有哪些信誉好的足球投注网站：再举几则生活事例：推倒自行车, 跑操排队对齐等． 结论： 1、两个条件缺一不可 2、条件2给出了一个递推关系 3 、步骤(1)是递推的起点与基础，没有步骤 (1)则步骤 (2)就成了无源之水，无米之炊； 若只有步骤 (1) 没有步骤 (2)，就失去了递推的依据，无法实现从“有限”到“无限”的递推过程。 思考： 满足条件（1）不满足条件（2），结果怎样？ 只满足条件（2）呢？ 思考：你认为证明引例中 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比此游戏解决这个问题吗？ 1、多米诺骨牌游戏成功依赖两个条件： (1)第一张牌被 推倒 (2)假设前一张牌被推倒，则后 一张牌也被推倒 (1)当n=1时,命题成立 (2) 假设n=k命题成立 则当n=k+1，命题也成立 2、共同完成此猜想的证明(验证：取倒数） 三、类比游戏，证明猜想 四、提升理念 形成新知 1、证明一个与正整数有关的命题步骤如下： (2) （归纳递推）假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． (1) （归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0 时结论正确; 2、用框图表示 验证n=n0时命题成立 若n=k(k≥n0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立. 归纳奠基 归纳推理 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 五、运用原理 解决问题 例1　用数学归纳法证明　 反思： 关键是要证明n=k+1时等式成立，应如何利用n=k时等式成立这个假设。 证明：1、当n=1时,左=12=1，右= ∴n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+…+k2+(k+1)2= =右 ∴n=k+1时，原不等式成立 由1、2知当n?N*时，原不等式都成立 思考：下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么? 证明：(1)当n=1时, 左边= 右边= (2)假设n=k(k∈N*)时命题成立 ， 那么n=k+1时, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. =右边, 左边