重庆大学高数(下)期末试题六(含答案) (自动保存的).docx

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试时间: 120 分钟题号一二三四五六七八九十总分得分考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设函数在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为其中在上具有一阶连续导数,且则曲线积分(A)(B)(C)(D)知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1答案:D2. 设级数为一交错级数,则 (A)该级数必收敛(B)该级数必发散 (C)该级数可能收敛,也可能发散 (D)若则必收敛知识点：级数收敛的判断；难度等级：1答案:C3. 下列方程中,设是它的解,可以推知也是它的解的方程是(A)(B)(C)(D)知识点：线性微分方程的解的性质；难度等级：1答案答案:B微答4. 设函数可微,如果曲线积分与路径无关,则应满足(A)(B)(C)(D)知识点:曲线积分与路径无关；难度等级:1；答案: D 分析:由曲线积分与路径无关的条件,计算可得.5.设则(A) (B)(C)(D)知识点:三重积分计算；难度等级:2；答案: C6.已知曲线经过原点且在原点处的切线与直线平行,而满足微分方程则曲线的方程为(A)(B)(C) (D) 知识点:二阶线性齐次微分方程的通解；难度等级:1；答案: A 二、填空题(每小题3分,共18分)7.设则知识点:多元函数的偏导数，变限函数求导；难度等级:1。答案:8. 设为可微函数,且则知识点:多元函数复合的二重积分，洛必达法则；难度等级:2。答案:9．微分方程的特解可设为知识点:微分方程特解的形式；难度等级:1。答案:10. 若级数发散,则知识点:级数收敛判定；难度等级:1。答案:11。同时垂直于向量和轴的单位向量为 .知识点：向量代数. 难度等级：2。答案：12. 均匀曲面的质心坐标为知识点:曲面的质心；难度等级1; 答案：分析:注意对称性,利用形心公式直接计算.解:依对称性知,质心在轴上.于是设质心坐标为其中从而质心坐标为三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算曲线积分其中是上半圆周由点到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,格林公式；难度等级:3。分析:曲线已为闭曲线,用格林公式.解:不能直接使用格林公式,添加辅助线与上半圆周一起构成闭曲线.利用格林公式14. 求微分方程的通解.知识点:可分离变量微分方程.难度等级:3。分析:需作变换将其化为变量分离方程.解:将方程改写为令则方程化为这是变量分离方程,积分得故原方程的解为15. 设为曲面的上侧,计算曲面积分知识点:高斯公式,对称性,柱坐标；难度等级3。分析:添加辅助面构成闭曲面用高斯公式.解: 设为平面上被所围部分的下侧, 与所围成的空间区域记为则因为所以16. 计算曲线积分,其中为曲面与的交线,从轴正向看去是逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,合一投影；难度等级3。分析:利用斯托克斯公式,合一投影.解:取为上以为边界的部分,法向取外侧,在面的投影区域为.应用斯托克斯公式得.又,利用合一投影,可得.四、解答题(每小题6分,共12分)17．已知(1)求的值；(2)试证:对任意的常数级数收敛. 知识点:无穷级数比较判别法,定积分；难度等级:3 解:(1)(2)由于收敛；又故级数收敛.18．设函数具有连续的二阶导数,并使曲线积分与路径无关,求函数知识点:第二型曲线积分,微分方程；难度等级:2.解:由题意得:即特征方程特征根对应齐次方程的通解为:又因为是特征根.故其特解可设为:代入方程并整理得:即故所求函数为:五、证明题(每小题6分,共12分)19．证明:由方程组所定义的函数满足方程注：换为知识点:多元函数的偏导数；难度等级:2分析:在方程两边微分可求出从而得到然后利用即可证明结论.证明:方程两边微分得利用得所以故20. 设正项数列单调减少,且发散,证明级数收敛.知识点:无穷级数根值判别法,极限存在判定准则；难度等级:2。证明:由正项数列单调减少,得极限存在.又发散,故于是故收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21. 求抛物面壳的质量,此壳的面密度为知识点:曲面质量,极坐标；难度等级2。分析:利用对面积曲面积分的物理意义采用极坐标计算解:抛物面壳在的投影为质量22. 求抛物面的切平面使得与该抛物面间并介于柱面内部的部分的体积为最小.知识点:二重积分计算,曲面的切平面,函数的极值；难度等级:2。分析: 先给出带参数切平面,求出几何体体积,再利用驻点求极值解:STEP1.介于抛物面柱面及平面之间的立体体积为定值只要介于切平面柱面及平面之间的立体体积为最大即可.