重庆大学高数(下)期末试题四(含答案).docx

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 —20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设满足条件则(A) (B) (C) (D) 知识点:向量的运算.难度等级:1.答案:(D)分析:由得,都非零,所以.2. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为其中为独立的任意常数.则该方程为(A)(B) (C)(D)知识点:微分方程通解,微分方程,难度等级:1.答案:(D)分析:由通解中的两个独立解知.方程对应的特征方程的特征根为因此对应的特征方程是于是对应的微分方程应是故应选(D).3.设则(A)(B)(C)(D)知识点:三重积分,对称性,难度等级:2.答案:(D)分析:积分区域关于面对称.为关于的奇函数.积分值为余下为倍体积.球体体积为故选D.4．设有曲线积分 其中为不过原点的光滑闭曲线,并取正向,则 的值为(A)(B)(C)(D)知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2.答案:(D)分析:由于内部含有不连续点.不能直接用格林公式.设曲线到原点最小距离为取曲线的顺时针方向.与曲线构成闭区域.在该闭区域上使用格林公式.结果为故选D.5.经过两平面的交线作平面并使与轴平行的方程为(A) (B) (C) (D) 知识点:平面方程,平面束.难度等级:2.答案:(C)分析:设平面的方程为即当时与轴平行.6. 设具有连续导数.是曲面与所围成立体表面之外侧.则=(A)(B)(C)(D)因未知.故无法确定.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:2.答案:(A)分析:利用高斯公式可得积分为所围成立体体积.选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7.设函数在上的傅立叶级数的和函数为则=知识点:傅里叶级数,和.难度等级:1.答案:分析:傅立叶级数的和函数为是以为周期的周期函数.8. 设为平面在第四卦限的上侧.为连续函数.则知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3.答案:分析:原积分9.曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为知识点:曲线的切线,夹角.难度等级:2.答案:分析:曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角的正切为在点处关于的偏导数的值.即所以10. 设是从点沿曲线到点的弧段, 则第一类曲线积分的值为知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.答案:分析:11.由曲线所围成的平面薄片其上各点的面密度为则此薄片的质量为知识点:薄片的质量,难度等级:2.答案:分析:密度函数为被积函数.积分区域为曲线所围.故12. 设积分曲面是球面则曲面积分知识点:对面积的曲面积分,难度等级:2.答案:分析:由于投影面有重叠.需将球面分为上下两个半球面计算.在曲面上被积函数等于计算合并化简得二重积分三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题的解.知识点:二阶线性常系数微分方程的初值问题,难度等级:1.分析:求特征根,写出通解,再求特解.解:特征方程为其根故通解为代入初值条件可解得从而特解为14. 求幂级数的收敛域.知识点:幂级数的收敛域,难度等级:2分析:比值法.并讨论端点的敛散性.解:当时,通项极限不为0故发散.幂级数的收敛域为15.过两平面和的交线作一平面过点 求该平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何.分析：写出过已知直线的平面束方程.解：设所求的平面方程为 (1)将点代入(1)得.将代入(1)得所求的平面方程为 .16.计算其中是抛物面介于及之间的部分的下侧.知识点:对坐标的曲面积分.难度等级:3分析:直接计算,化曲面积分为二重积分.解 :首先,计算其中前侧;后侧.其次,于是,四、解答题(每小题6分,共12分)17．设曲线积分在右半平面内与路径无关,其中知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:2分析: 利用积分与路径无关的条件得微分方程.解:由积分与路径无关的条件知:即有解上面的微分方程得将代入上式得所以18．设为不自交的光滑闭曲线.求知识点:梯度,曲线积分向量表示.难度等级:2分析: 斯托克斯公式解:.记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定.应用斯托克斯公式.可得.五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数在处有连续的偏导数.证明它在处沿等值线的切线方向的方向导数为零.知识点:等值线,方向导数,难度等级:2分析:等值线上一点处的法向量为所以切向量为由方向导数的计算公式即可得到结论.证明:函数的等值线上一点处的法向量为所以切向量为沿此方向的方向导数为20.设在点的某一邻域内具有二阶连续导数.且证明级数绝对收敛.知识点:极限,泰勒中值定理,比较判别法.难度等级:3分析:由已知可得,利用泰勒中值定理建立函数与零点间的关系.证明:1. 由泰