数学物理方程4.ppt

第 四 章拉普拉斯方程的格林函数法 4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格 林 公 式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 Green函数的物理意义 将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原来的问题同样的解 在接地的闭曲面 中放上点电荷之后，在 面内侧必然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的电位 和感应电荷的电位 v 的叠加， Green函数= 内的电位. 4.3 格林函数 所谓电象法，就是在 放置的单位正电荷，在区域 外找出 关于边界 的象点 ，然后在象点放置适当电量的负电荷，由它产生的负电位与 处的单位正电荷所产生的正电位在曲面 上互相抵消。而 和 处的点电荷在 内的电位就是所要求的格林函数。 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 故 和 处的电荷在 内的电位就是所要求的格林函数。 在区域内 点放置的单位正电荷； 在区域 外找出 关于边界 的某种对称点 ； 在 点放置适当电量的负电荷，使得它产生的负电位与 处正电荷产生的电位在 上互相抵消。 处电荷所形成的电场在 的电位 处电荷所形成的电场在 的电位 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 点的位置 点放置的 负电荷的电量 在区域内 点放置的单位正电荷 在区域 外找出 关于边界 的某种对称点 在 点放置适当单位的负电荷，使得它产生的负电位与 处正电荷产生的电位在 上互相抵消。 关于边界 的某种对称点 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 * * * * * * 4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 设 满足拉普拉斯方程 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成 不存在初始条件. 拉普拉斯方程的解称为调和函数 1） 第一边值问题 狄利克雷(Direchlet)问题 边界条件: 2)第二边值问题 纽曼(Neumann)问题 4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格 林 公 式 高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区域， ， ， 在闭域 上连 续,在 内有一阶连续偏导数，则 其中 为 的外法向量。 高斯公式可简记为 设 满足 令 则 将 代入高斯公式，等式右端 4.2 格 林 公 式 4.2 格 林 公 式 所以 第一格林公式 交换 的位置, 有 两式相减, 得 第二格林公式 1) 牛曼内问题有解的必要条件 设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数, , 则有 . 所以牛曼内问题( )有解的必要条件为函数 f 满足 事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件. 4.2 格 林 公 式 设 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则它们的差 必是原问题满足零边界条件的解.对于狄利克雷问题，v 满足 对于牛曼问题, v 满足 2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 4.2 格 林 公 式 在第一格林公式中取 , 由 v 是调和函数，可得 在两种边界条件下，都有 所以 故在 内必有 , 即 可得 ，其中 C为常数. 4.2 格 林 公 式 对于狄利克雷问题, 由于 , 故 从而 . 结论 狄利克雷问题在 内的解是唯一确定的, 牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的. 4.2 格 林 公 式 3) 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在