数学物理方程1.ppt

数学物理方程与特殊函数; 主讲教师： 闫桂峰 E-mail: ygf@bit.edu.cn Tel中教630) ; 参考书目 梁昆淼. 数学物理方法（第三版）. 高等教育出版社,1998。 闫桂峰. 数学物理方法. 北京理工大学出版社,2009。 李元杰. 数学物理方程与特殊函数. 高等教育出版社,2009。 杨华军. 数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社，2005。 ;第一章 典型方程和 定解条件的推导;1.0 预备知识－基本概念;课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。 ;微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程;例如;偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最高阶数;线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数） 非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程; n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为;根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；;1.1 基本方程的建立;导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 ;例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 假设与结论： （1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) ;（3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数；;牛顿运动定律： F = m·a;注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则;例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。;Kirchhoff 第一,二定律; 例3. 声学方程 ;注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为;奥氏公式;故; 如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。;;流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体温度从 变化到 所需吸收热量为;由于时间 , 和区域 V 都是任意选取的,并且被积函数连续, 于是得;若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为;二维热传导方程 ;在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量为 , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导方程 ; 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用 表示所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.;波动方程 　— 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 — 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势. ;一维齐次波方程：;2.2 初始条件与边界条件;?一 . 初始条件及Cauchy问题 描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件， 初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称Cauchy问题）。;初始位移、初???速度分别为 ,称; 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。; 例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h;（I）第一类边界条件;例1.长为l的弦，一端固定，一端以 sint 规律运动;弦振动问题：弦的一端（如 x = l）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。;当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是 t 的已知函数 时，有;热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则