共轭子群.ppt

共軛類和不變子群 定義：設a和b是群G的兩個元素，如果G中有一個元素x使得 則稱b與a共軛，並把這個運算叫做b通過a的相似轉換。 1.共軛a conjugate of a G 相似轉換滿足 自反性： 對稱性： 傳遞性： 又xy G，故a與c共軛 2.共軛類a conjugate of H G 定義：群G中所以相互共軛的元素組成一個等價類，稱為群G的共軛類，或簡稱為類，用符號來表示與a共軛的元素組成的類 。 在一個阿貝爾群中，每個群元素自成一類。 所以必有a=b，同理，任意群的單位元也自成一類 3.共軛子群(conjugacy class) 定義：設H是群G的一個子群，g為G的一個固定元素，所有ghg-1的集合 也是G的一個子群，稱為在群G中H的共軛子群或相似子群。 若 證明 之封閉性。此外 由前述定理得 成群。 4.不變子群(normal subgroup, invariant ) 定義：H為群G的子群，而g為G的任意一個元素，若恆有 成立，則稱H為G的不變子群或正規子群或自軛子群，記做 若H是群G的不變子群，g為G的任一元素，則g所屬的左陪集與右陪集相同 注意上述並不意味g可以和H的每一個元素交換，而僅僅說gH和Hg這兩個集合一樣 定理4： 群G的一個子群H是一個不變子群的充分必要條件 是：若H含有元素h，則H必包含h所屬的共軛類 Proof (1)必要性 ：這是不變子群定義的直接結果。 (2)充分性 ：假定此條件成立 定理5: (接續定理1:同態基本性質part 2) show that if ψ:G→G is a group homomorphism, then the following holds (3) (4) (3) (4) Suppose H is normal in G 定義：設H是群 的一個不變子群，由H和H在G內的所有陪集組成的一個集合滿足 稱為G的商群，用符號 表示。 Proof 設aH是H的任一陪集 =H是單位元素 商群(the quotient group) 定理6： 一個群 與他的每一個商群 同態，即 且Ker( f )=H Proof (1) 這個同態映射通常稱為G到G/H的自然同態(natural map) (2) 定理7: (群同構定理) If there exists a homomorphism whose kernel is H, then is isomorphic to Proof Ex15. 設N是群G的不變子群，那商群 為交換群的充分必要條件是對任意 ，都有 (1)充分性 若 是交換群 (2)必要性 若 ，即 ，ab與ba在N的同一陪集中，也就是說 群的直積(direct products) 與直和(direct sums) 設有p階群 和q階群 H和K除了單位元e外無其他共同元素，並且H的每一元素都與K對易，於是通過H和K的直積可構成階為g=pq的新群G，G為所有有序序列(hi,kj)所組成的集合，其乘法運算為 式中的hihl和kjkm是分別利用H與K的乘法運算決定的，G的單位元素為H與K的單位元所構成的有序對，即 G中任一元素(hi,kj)的逆元素為(hi,kj)-1= (hi -1,kj -1 ) 由此可得的群G稱為H和K的外直積，記為 ，H和K則稱為G的直積因子。 外直積: Ex16.設有 內直積： 設G是個群，A和B是G的子群且滿足條件 A, B都是G的不變子群 對任意g G，都有唯一確定的a A和b B使得g=ab 則說群G是其子群A和子群B的內直積，表示為G=AB Ex.17 四元群G={e,a,b,c}的乘法表如右，他有3個2階不變子群K={e,a},H={e,b}和L={e,c}，而且G是其中任意兩個不同的不變子群的內直積。 說明： 因為有對稱性，所以只看K和H即可 即G=KH且表示法唯一 ∴G是K和H的內直積 內直和與外直和: 對於交換群，有時將外直積和內直積分別稱為外直和與內直和，並以 代