【数学】1.2.1平面的基本性质与推论(人教B版必修2)选读.ppt

第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论 人教B版必修2 一.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： A B a 点A在直线a上： 记为：A∈a 点B不在直线a上： 记为：B∈a 　点A在平面α内： 记为：A∈面α 点B不在平面α上： 记为：B∈ 面α A B α (1)点与直线的位置关系： (2)点与平面的位置关系： (3) 直线与面的位置关系： α a α a A α a 二．平面的基本性质： 1．公理1： ①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ； 这时我们说，直线在平面内或平面经过直线． ②图形语言： ③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α AB 面α或l 面α. 公理1作用 （1） 。 （2） 。 1、判定或证明一条直线是否在平面内. 方法是：确定直线上有两点在平面上。 2、判定或证明一点是否在平面内. 方法是：若直线在平面内、点在直线上，则点在平面内。 2．公理2： ①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。 ②图形语言： ③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α. 如何理解公理2？ (1) 公理2是确定平面的条件，也是证明两个平面重合的依据. (2) 确定平面的条件是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要依据，也为证明直线共面问题提供了依据. (3) 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面. 3、 公理3： ①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. ②图形语言： ③符号语言： 公理3作用 (1)公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”. (2)判定或证明两个平面相交：即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交； (3)判定或证明点在直线上：即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上. (4)两平面两个公共点的连线就是它们的交线 P l β α 点（三点）共线 线共点 三、平面基本性质的推论 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a与A共属于平面α且平面α惟一 . （1）推论1： a是任意一条直线 点A a （2）推论2： 文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a，b共面于平面α，且α是惟一的 . b是任意一条直线 a是任意一条直线 a∩b=A （3）推论3： 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a，b共面于平面α，且α是惟一的 . a，b是两条直线 a//b m 图2 l 四、共面与异面直线 l m P 图1 从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线） 1、异面直线 判断： (1)图中直线m和l是异面直线吗? α β l m m l (2) ,则a与b是异面直线吗？ (3) a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？ 异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托, 异面直线不同在任何一个平面的特点. (1)相交 (2)平行 只有一个公共点 没有公共点 在同一平面 m l 2、空间中两直线的三种位置关系 (3)异面直线 m P l 没有公共点 不同在任一平面 m l P 点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上. 点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上. 解析：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内． (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上． (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图、、所示． 变式训练1　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC. 解析：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC. 图形表示如左图： (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝