多重式比例问题的解题分析相等比值或相等比率摘要.PDF

多重式比例問題的解題分析：相等比值或相等比率 馬秀蘭 嶺東科技大學 企管系 （投稿日期：94年8月28日；修正日期：94年9月12日；接受日期：94年 11月10日） 摘要 本文目的乃在探討與分析國小六年級學生在解決多重式比例問題的型態，尤其從 「相等比值」或「相等比率」兩個向度作比較。當該比例問題之關係式可寫為 「c1:(a1×b1)= c2:(a2×b2)」時，本研究已知的條件「c1/(a1×b1)」為一整數。研究結 果顯示，有的學生在解決「多重式比例」問題時，會先考慮是否能由「簡單式比例」問 題來解決，但是較多學童一開始就是利用「多重式比例」問題的架構解題。其中雖然學 童多利用「相等比率」概念的「單價法」去解決問題，但如此方法乃看不出他們是否真 正瞭解「多重式比例」之意義；較少學童利用「相等比值」概念的「倍數法」解題。然 而值得注意的是有的學生不識「多重式比例」問題的架構，或有的只有「相等比值」或 「相等比率」一種的認知結構而已。 關鍵詞： 多重式比例問題、相等比值、相等比率 1 一、緣由與目的 比例(proportion)概念為基礎數學與高等數學的分水嶺(Lesh, Behr, Post, 1988；Lamon, 1993)，亦是問題解決中的一個極重要技巧(Orton, 1992）。美國NTCM（2000） 指出，無論是在數與計算、代數或測量等領域，6-8年級階段均強調比例概念的重要性。 我國教育部（2003）在九年一貫課程綱要中之國小五、六年級的階段也強調培養學生的 比例推理能力，以進一步的發展對數學問題或未知數問題之各種解題策略。因此比例廣 泛的出現在中小學的數學主題中，例如：分數、單價、速率、(公)因(倍)數、相似三角 形、比值和百分率等，皆是學生在其數學課程中會接觸到的。但是雖然學童在他們極早 的數學生涯就接觸到比例，卻在了解比例關係的本質上及分辨有無比例關係上皆產生困 難(Greenes Findell, 1999)，而且他們經常對與比例相關的分數、比(比值)、比率 或比例有認知的混淆。 因此本文的目的乃在藉由分析學生解決多重式比例問題「c1:(a1×b1)= c2:(a2×b2)」 的型態(其中已知的條件「c1/(a1×b1)」為一整數)，去探討學童內在之認知結構，尤其 從「相等比值」或「相等比率」兩個向度作比較，並從數值類型(整數倍或非整數倍) 的差異作解析。 二、研究理論基礎 (一) 分數、比/比值、比率及比例的闡述 一般若要探討「多重式比例」問題就須追溯到「簡單式比例」問題，進而到「比例」 問題。Lo和Watanabe（1997）指出，有利於發展比例基模的數學知識有：數字的結構(例 如：因數和倍數)、熟悉各種乘法和除法的情境，包括等分除與包含除、及有理數（分 數、小數..等）概念的整體發展。因而「比例」可說是「分數」的另一面相，但已有研 究指出分數的教與學不僅非常困難，且是一個令人沮喪的失敗(Davis, Hunting Pearn, 1993)，而且我國國小六年級學童不擅於處理「分數」的運算(馬秀蘭，2001)等，因此 本節將從分數(fraction)的概念出發，進而到與本文有關的比/比值(ratio)、比率(rate) 2 及比例(proportion)的概念。以下將以 為例去闡述之。 5 1. 當其考慮到被分割之量 (divided quantity或partitioned quantity)，則其 為「分數」；其涉及到一全體的量(quantity)