【步步高】2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间点、直线、平面之间的位置关系文.ppt

解析　如图所示，连结DN，取线段DN的中点K， 连结MK，CK. ∵M为AD的中点， ∴MK∥AN， ∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角. ∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点， 解析答案 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条. 解析答案 解析　图①中，直线GH∥MN； 图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN， 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. 答案 ②④ 思维升华 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是________. 跟踪训练2 解析答案 解析　把正四面体的平面展开还原， 如图所示，GH与EF为异面直线， BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角， DE⊥MN. 答案　②③④ 例3　(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， D是AC的中点，AA1∶AB＝ ∶1，则异面直线AB1 与BD所成的角为_____. 解析　取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE， 在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求， 故∠AB1E＝60°.所以异面直线AB1与BD所成的角为60°. 60° 题型三　求两条异面直线所成的角 解析答案 (2)空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所 成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点， 求EF与AB所成角的大小. 解析答案 思维升华 解　如图，取AC的中点G，连结EG、FG， 由AB＝CD知EG＝FG， ∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角. 解析答案 思维升华 ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°. 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. 故EF与AB所成的角为15°或75°. 思维升华 思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解. (1)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为________. 跟踪训练3 解析答案 解析　画出正四面体ABCD的直观图，如图所示. 设其棱长为2，取AD的中点F，连结EF， 设EF的中点为O，连结CO， 则EF∥BD， 则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角. △ABC为等边三角形，则CE⊥AB， 解析答案 故CE＝CF. 因为OE＝OF，所以CO⊥EF. (2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_____. 解析　如图，可补成一个正方体， ∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°. 即BA1与AC1成60°的角. 60° 解析答案 返回 思想与方法系列 典例　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是________. 思维点拨　　构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系. 思想与方法系列 16.构造模型判断空间线面位置关系 温馨提醒 解析答案 思维点拨 返回 解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确； 对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；