§2.3连续型随机变量.ppt

标准正态分布 * 2.3 连续型随机变量 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度 注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概率为0.即 因为 离散型随机变量X在某一指定点取值的概率不一定为0. 密度函数的性质： 这两条性质是判定一个函数 是否为概率密度的充要条件 0 x f(x) 面积为1 利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 0 x f(x) a b 或者 2.3.2、均匀分布与指数分布 三种重要的概率分布：均匀分布、指数分布、 正态分布. 1 设 即 则 例2-18 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的， 求乘客候车时间在1至3分钟内的概率。 例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 所求概率为： 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站。为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 指数分布的概率密度和分布函数图像如下 1 服从指数分布的随机变量X通常可解释为某种寿命,如果已知寿命长于S年,则再活t年的概率与年龄S无关,亦称指数分布具有“无记忆性” . 关于概率统计论中服从指数分布的随机变量X具有无记忆性。 具体来说：如果X是某一元件的寿命，已知元件已经使用了S小时，它总共能使用至少S＋T小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用T小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过S小时没有记忆。 人生中，很多时候我们总是对过去的失败耿耿于怀。这种经历使我们不敢面对现实，如果我们能从指数分布受到启发，运用“无记忆性”原则，那么我们的今天和明天将会更加美好。因为即使我们人生中的S小时已经失败，但我们面前的成功仍然还有S+T，和我们S小时前的成功几率一样。 指数分布在人生中模式是：忘记过去，努力向前，向着标杆勇往直前。 例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用 两年的概率为多少？ X 的分布函数为 解 例 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 λ= 的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 指数分布的重要性质 :“无记忆性”. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位:分钟)具有概率密度 某顾客在窗口等待服务,若超过9分钟,他就离开. (1)求该顾客未等到服务而离开窗口的概率P{X9}； (2)若该顾客一个月内去银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数,即事件 {X9}在5次中发生的次数，试求 P{Y=0}。 练 习 练 习 司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为λ= 的指数分布. （1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p； （2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 2.3.3 正态分布 定义 2-11 习惯上,称服从标准正态分布的随机变量为正态随机变量,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质如下： *