§3、连续型随机变量及其分布.ppt

* * §3、连续型随机变量及其分布 一、连续型随机变量及其分布 通俗地讲，所谓连续型随机变量就是其所有可能 取的值充满某一个区间的随机变量． 如何表示描述连续型随机变量的概率分布呢？ 定义1 随机变量X，若存在一个非负函数 f (x)， 使对任意实数x，均有 则称X为连续型随机变量，其中函数 f (x)称为X的概率 分布密度函数，简称为概率密度，或密度函数等． 连续型随机变量概率密度 f(x) 基本性质： 连续型随机变量的其它性质与结论： 3.连续型随机变量定义中公式 4.由定义可知 (可用来确定参数) * (可用来求F(x)) (可用来求概率) 5.概率密度 f(x)连续点x处，有 6.连续型随机变量X，取个别点的概率等于零，即 事实上， * (可用来求f(x)) 因此，计算连续型随机变量取值落在一个区间的 概率时，可以不分开区间或是闭区间． 离散型随机变量 连续型随机变量 分布函数 概率分布(分布律) 概率分布(密度函数) 描述随机变量 * 【例0】 射击目标靶是一个半径为2m的圆盘，假 定每次射击都能命中靶，并且击中靶上任一同心圆盘 的概率与该同心圆盘的面积成正比，以X 表示弹着点 与目标中心的距离，试求随机变量X的分布函数． 【解】先求随机变量X的分布函数F(x)． * 综上所述，即得随机变量X的分布函数为 对F(x)求导数，可得随机变量X的密度函数为 注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，…… * 【例1】设随机变量X的概率密度为 求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当 时， * ②当 时， 注：积分公式 * ③当 时， 注：积分 为单位圆面积一半． 所以 * ■ 【例2】设随机变量X的分布函数为 （1）求概率 （2）求概率密度。 【解】（1）由分布函数求概率 * （2）对分布函数求导数即得概率密度： ■ * 连续型随机变量取某一定值的概率为零．因此， 计算其取值于某范围的概率时，可以不计较多一些点 或少一些点的问题． 并且，由此可进一步地理解：不可能事件与 零概率事件的关系 P(A) = 0 A =Φ. 二、常用连续分布 1、均匀分布 定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 则称 X 为区间(a,b)上的均匀分布，记为 其分布函数为 * 2、指数分布 定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 则称随机变量 X 服从参数为 k( k 0 )的指数分布， 记为 其分布函数为 注：概率密度有人喜欢用下面的形式 * 【例4】 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(分钟)服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开． 他一个月要到银行5次．以Y表示一个月内他未等到服 务而离开窗口的次数，求Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】这是一道综合题．先求他每次 “未等到服务而离开”的概率 * 再求Y 的分布律．因为r.v.Y～B(5,e-2)，所以 Y的分布律为 于是，由此有 * ■ 【例5】 设K在(0,5)上服从均匀分布，求方程 有实根的概率． 【解】 因为r.v.K～U(0,5)， 所以K的概率密度为 故事件“方程有实根”的概率为 又方程 有实根，当且仅当 判别式 * 即 或 , ■ 3、正态分布 定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 其中μ,σ(σ 0 )均为常数， 参数μ,σ的正态分布，记为 特别地，当μ= 0,σ= 1 时，即概率密度为 则称其为标准正态分布，记为 * 则称随机变量X 为服从 正态分布随机变量X的分布函数为 标准正态变量X的分布函数为 此积分 不能直接积分出来 * 正态分布是最为重要的常见随机变量． 由于正态变量X 分布函数表达式中的积分不能够 直接积分出来，而其概率计算的问题则需要求其分布 函数值或计算类似的积分，那么如何计算正态分布的 概率呢？ 为此，下面先对正态分