§3.1多维随机变量的.ppt

3.1.3 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 一维连续型随机变量X的可能取值为某个或某些区间，甚至是整个数轴. 二维随机变量(X,Y)的可能取值范围则为XOY平面上的某个或某些区域，甚至为整个平面，一维随机变量X的概率特征为存在一个概率密度函数f(x)，满足： 定义3.5 的分布函数 则称 是连续型的二维随机变量, 函数 或X与Y的联合密度 使对于 对于二维随机变量 （X,Y )的概率密度 , 随机变量 任意 有 如果存在非负的函数 函数. 概率密度函数 f(x,y) 的性质： 判断一个二元函数是否可做为概率密度函数的依据. 如果已知(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)，则(X,Y)在区域D内的取值的概率为： * 第三章 多维随机变量及其概率 3.1 二维随机变量的概念 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 边缘分布函数： (X,Y)的两个分量X与Y各自的分布函数分别为二维随机变量 (X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y). 边缘分布函数可由联合分布函数来确定. 如下 几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图. y x (x,y) 0 D 利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点(X,Y)落在矩形域{x1X≤ x2, y1Y≤ y2}内(如下图)的概率为： y x o y2 y1 x2 x1 (x1, y2) (x2, y2) (x1,y1) (x2, y1) 回忆: 分布函数F(x)的性质. 例 3-1 解 3.1.2 二维离散型随机变量 定义3-3 若二维随机变量(X ,Y )只能取有限多对或可列无穷多对( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,…)则称(X ,Y )为二维离散型随机变量. 设二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值为 ( Xi ,Yj ), ( i ,j=1,2,…),( X, Y )在各个可能取值的概率为： P{X=xi,Y=yj}= pij ( i, j=1,2,…) 称P{X=xi,Y=yj}= pij ( i, j=1,2,…)为( X , Y )的分布律. ( X , Y ) 的分布律还可以写成如下列表形式： X Y y1 y2 … yj … x1 x2 … xi … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … pi1 pi2 … pij … … … … … … … (X,Y) 的分布律具有下列性质: 回忆：分布律{PK}的性质. (1) 0 ≤ PK ≤1； (2) P1 +P2 + … + PK… =1. (1) 0 ≤ Pij ≤1 ( i,j=1,2,… ) ; 反之,若数集{pij} ( i,j=1,2,… ) 具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律. 例 3-2 设(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 3 1 2 求常数a的值. 解 由分布律性质知， 例3-3 设(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25 求: (1)P{X=0}; (2)P{Y≤2}; (3)P{X1,Y≤2}; (4)P{X+Y=2}. 解 (1){X=0}={X=0,Y=1}U{X=0,Y=2}U{X=0,Y=3}, 且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}两两互不相容, P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3} =0.1+0.1+0.3=0.5. 所以， X Y 定义3-4 对于离散型随机变量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律，记为 Pi . (i=1,2,…) (或P. j (j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出.