§5.3RungeKutta方法.ppt

第三节 Runge-Kutta方法 取 K1 = f (xi，y(xi)) ——Euler公式 取 K2 = f (xi+1，y(xi+1)) —— 向后Euler公式 一阶精度 取 —— 梯形公式 二阶精度 猜想：若能多预测几个点的斜率，再取其加权平均作为K?，可望得到较高精度的数值解，从而避免求f 的高阶导数。 例 用标准4阶R-K公式求： 的数值解。取h = 0.2，并与标准解y = 2ex – x – 1比较。 解：因为f(x，y) = x + y，从而可得： * ? 2009, Henan Polytechnic University * §3 Runge-Kutta方法 第五章 常微分方程数值解法 * 建立高精度的单步递推格式:在改进欧拉法和欧拉两步法预测-校正系统中,预测公式都是单步法,如果预测误差很小,则通过校正后得到的近似值误差会更小,因此需要研究高精度的单步法. 5.3.1. Taylor级数法 设其解为y=y(x) 由Taylor展开，有 ? ? ? 其局部截断误差为： 要使公式具有p阶精度，则在上式中截取前p+1项，并计算各阶导数，即得下面Taylor格式（差分方程）： 2.Taylor格式表面上看形式简单，但具体计算时由于高阶导数很难计算，所以往往构造很困难。因此通常不直接用Taylor格式，而借鉴其思想提出其它格式。 1. 由此看出，一种方法具有p阶精度?公式对不超过p次的多项式准确成立（局部截断误差为0）。 单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。 5.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想 由积分中值定理，有 称为区间[xn, xn+1]上的平均斜率，只要知道平均斜率，就可计算y(xn+1).因此只要对平均斜率提供一种近似算法，则由上式可导出一种相应的求解公式。 考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求偏导,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在这一步内多预报几个点的斜率值，然后将其加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。 考察改进的欧拉法，可以将其改写为： 斜率 一定取K1， K2 的平均值吗？ 步长一定是h 吗？即第二个节点一定是xn+1吗？ 首先希望能确定系数 ?1、?2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得 Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开 将改进的欧拉法推广为： 5.3.3 二阶Runge-Kutta方法 Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开 Step 2: 将 K2 代入第1式，得到 Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较 要求 ，则必须有： 这里有 个未知数， 个方程。 3 2 存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。 注意到， 就是改进的欧拉法。 若取 ,则 ，此时二阶龙格-库塔 法的计算公式为 此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中 为区间 的中点。 为了进一步提高精度，设除 外再增加一点 并用三个点 , , 的斜率k1,k2,k3加权平均 得出平均斜率k*的近似值，这时计算格式具有形式: 5.3.4 三阶Runge-Kutta方法 为了预报点 的斜率值k3,在区间 内有两 个斜率值k1和k2可以用,可将k1,k2加权平均得出 上的平均斜率,从而得到 的预报值 于是可得 运用Taylor展开方法选择参数 ,可以使上述格式的局部截断误差为 ,即具有三阶精度，这类格式统称为三阶龙格—库塔方法。下列是其中的一种，称为库塔（Kutta）公式。 5.3.5 四阶Runge-Kutta方法 用类似上述的处理方法，在区间 上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率k*的近