第二章 控制系统的数学模型.ppt

第二章 控制系统的数学模型 主要内容 2.1控制系统的数学模型 对控制系统的研究，一般都是建立在模型基础上进行的。常见的模型有： 数学模型：如微分方程、传递函数、频率特性等，他们主要研究系统的动态特性。 物理模型：如化学中的分子模型，物理学中的力——电模型，他们主要研究系统的内部结构。 图模型：如方块图、信号流图、树图等，它们研究不仅将系统的内部结构表达得比较清楚，而且各个结构的关系也表达得非常清楚，因此应用比较广泛，两者皆有。 重点介绍控制系统常用的数学模型，以及它们之间的关系。 数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法： 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 在我们工程控制理论当中，常用的数学模型主要有三种： 微分方程 时域模型 差分方程 状态空间 传递函数 复域模型 结构图 频域模型 频率特性 2.2拉普拉斯变换（补充） 2.2.1拉普拉斯变换的定义 拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。 2.2.4拉氏反变换 部分分式法 Matlab中利用[r,p,k]=residue(num,den) 留数法 2.3控制系统的时域数学模型（微分方程） 2.3.1微分方程的建立 列写系统微分方程的一般步骤为： 确定系统的输入、输出变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组； 消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； 标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数归化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。 2.3.1微分方程的建立（电学） Example 1 解：设回路电流为i，根据基尔霍夫定理： 消去中间变量i，可以得到： Example 2 列写如下图所示RC网络的微分方程。给定输入电压为系统的输入量，电容上的电压为系统的输出量。 解：设回路电流分别为i1、 i2，由基尔霍夫定理得： 由基尔霍夫电流定律，电容C1 中的电流为i1- i2， C2为i2，所以 2.3.1微分方程的建立（机械运动） Example 3 Example 4 2.3.2微分方程的求解 建立控制系统微分方程的目的之一是为了用数学方法定量研究控制系统的工作特性。当写出系统的微分方程以后，只要给出输入量和初始条件，便可以对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变化的特性。 线形定常系统的求解方法有：经典法和拉氏变换法。 求解线性定常微分方程的过程可归结为： （1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转变为变量的代数方程。 （2）有代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。 （3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即微分方程的解。 Example 5 已知 ， ， ，且电容上初始电压 ，初始电流 ，电源电压 。试求电路突然接通时，电容电压的变化规律。 解：由例1中求得系统的微分方程： Example 6 2.4控制系统的复域数学模型（传递函数） 传递函数的性质： 传递函数是复变量的有理分式； 传递函数只与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关； 传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以相互转换，即 与 替换； 传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换，当系统在单位脉冲响应 的作用下，那么 ，所以脉冲相应的输出 。 传递函数与平面上一定的零极点图相对应。 不同的系统可能有相同的传递函数 2）传递函数的零极点对输出的影响 由于传递函数的极点就是系统微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自由运动的模态。 传递函数的零点不形成自由运动的模态，但它却影响各模态响应中所占的比重，