第五章矩阵的特征值和特征向量.ppt

* §1预备知识：一,向量的内积 第五章 矩阵的特征值和特征向量的求法 §1 引言 矩阵的特征值和特征向量的计算非常复杂,它涉及高次方程的求根和线性方程组的求解 §1预备知识 一向量的内积 1,,内积的定义 解:首先求特征值,A的特征多项式为: * 特征值和特征向量的性质： 4.对应不同特征值的特征向量线性无关。 5.(圆盘定理):A的每一个特征值必在下列圆盘中的某一个中 * 方阵的对角化 方阵A的对角化 如果方阵A能够对角化(即A有n个线性无关的特征向量) 则称A为非亏损的矩阵. 绝对值最大的特征值称为主特征值. * 对角化的条件 §2 幂法和反幂法 现任取一个非零向量作为初始向量 * 结论 * §4 实对称矩阵的相似矩阵 定理5 对于模最小的特征值和对应的特征向量也可以根据幂法的原理 来计算,这就是反幂法; * §4 实对称矩阵的相似矩阵 定理5 再讨论A的任一特征值 和对应的特征向量 先给出一个”较好”的初值 ,使得 因此 就是矩阵 的主特征值,其对应 的特征向量就是所要求的 . 这样就可以根据反幂法来计算. 求出了 又是已知的,这样就得到了特征值 例 求的特征值和特征向量. 特征值为 方阵A的对角化,即寻找相似变换矩阵P,使 P-1AP= ∧ 为对角矩阵. 什么样的方阵能够与一个对角阵相似呢？ 定理：A与一个对角阵相似的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量。 推论：如果A有n个互异的特征值，则A必能与一个对角阵相似。 如果A的n个特征值为 n个线性无关的特征向量为