第五节换元积分.ppt

第五节 作业 2. 计算 3. 计算 * 不定积分 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法 第六章 定理6.5 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作代换 满足下列条件： 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式. (2)当t在α与β之间变化时， 单调变化，且 则： 定积分的换元法 证明 说明： (1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”. (2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量. (3)新变元的积分限可能αβ，也可能αβ，但一定要求满足 (4) 换元公式也可反过来使用 , 即 或凑微分 凑微分时不换限！ 例1 定积分的换元法 换元必须换限 解 令 原式 换元 换限 例2 定积分的换元法 换元必须换限 解 原式 例3 求 解 定积分的换元法 换元必须换限 例4 定积分的换元法 换元必须换限 解 原式 换元必须换限 另解 原式 不换元则不变限 例5 求 解 定积分的换元法 换元必须换限 方法二 定积分的换元法 不换元不换限 例6 解:(1) 例6 解:(2) 例7 设 解 设 例7 证明 分析： （1）积分区间一样；（2）被积函数不同。 解决：采用适当的换元，使 a+b-x 化为 x . 证明 令 则 所以 所以，原命题成立。 换元 换限 证 例8表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算. 奇函数 例9 计算 解 例10 计算 解 偶函数 奇函数 例11 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 证 （1）设 （2）设 故 例13 解: 例14 解: 定积分的换元积分法小结 1、基本换元规律，与不定积分相同； 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必须做到换元同时换限。 P24 1. (1)(3)(5) 2.(5)(6) 3. 4. 8. 10. 练习1 求 解 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 *