第六章插值.ppt

* 第四章 向量组的线性相关性 §1n维向量 一,向量定义 定义1 §1 引言 第六章 插值 问题的提出: 已知一组离散数据 ,希望由此得到x , y 之间的(近似)关系y = f ( x ). 解决问题的思路: 寻找一个比较”简单”的函数 来 “近似” f ( x ). 当然这里的”近似”可以有不同的意义. 本章讨论在如下意义下的”近似”: 要求”近似”函数在已知点上与原来的函数值相等,即: 这种意义下的”近似”问题称为插值问题. 插值问题的提法: 给出f ( x )在n+1个点 上的函数值 在某种函数类中求一个函数 使 称为被插函数 称为插值函数 称为插值节点 称为插值余项(误差函数) 插值问题的几何意义: 对于曲线y = f ( x )寻找一条曲线 要求 通过点 由于多项式是一种简单且性质较好的函数.如果把插值函数类 取为多项式,即 是n次多项式,这样的问题称多项式插值(代 数插值)问题. 称为插值多项式.以后记为 * 向量组及其线性相关性 1,向量组 本章讨论的是多项式插值问题. 首先要讨论多项式插值的三个基本问题: 1.满足插值条件的插值多项式是否存在?是否唯一? 2.如果存在如何求? 3.怎样估计误差函数R ( x )? 1.设满足插值条件的插值多项式为 这是一个n+1个方程个n+1未知数的线性方程组,由于其系数行列式 是不等于0,所以有唯一解,即插值多项式插值是存在且唯一的. * 2,线性方程组的向量表示 再讨论误差函数R( x )的表示式 记: 令: 则 有n+2个零点 所以根据罗尔定理 有n+1个零点 反复用罗尔定理可得: 有唯一的零点 由此可得 * 3,线性组合与线性表示 定义2 Th1 一 基本插值多项式 §2 Lagrange插值 称之为基本插值多项式. * 4,向量组的等价及矩阵的行(列)向量的线性表示 定义3 二 拉格朗日插值多项式 基本插值多项式的性质: 称为拉格朗日插值多项式 * 例 §4 Newton插值 差分与差商 定义： * 7,向量组的线性相关性 定义4 　　　 差分与差商的性质： 性质1：差商与节点的次序无关； 性质2： 性质3： 性质4： * 例 二 牛顿基本插值 * 命题 满足:（1）是n次多项式 所以 是满足插值条件 的插值多项式。称为牛顿基本插值多项式，它满足递推关系： * 例 三 等距节点下的牛顿插值 在等距节点的情况下，在牛顿基本插值中用向前差分代替差商 就可以得到牛顿前插公式： 令 * 例 再根据向前差分与向后差分之间的关系，就可以得到牛顿后插公式： 令 * §3向量组的秩 定义5(向量组的秩与极大无关组) 四 关于插值的几个问题: 1.关于多项式插值的形式和唯一性的问题以及误差问题. 2.当f ( x )本身就是n次多项式时,则 3.关于节点的选择问题和外推问题. 4.关于反插值的问题. 5.关于插值多项式的收敛性问题和次数的选取问题. * Th4(矩阵的行秩=列秩) §5 分段插值 当节点很多很密的情况下,为了提高插值的整体效果,可以采用 分段插值的方法. 基本思想:把插值区间[a , b]分成n个小区间,在每个小区间上做低 次的插值. 特点:不是用一个高次的多项式去近似被插函数,而是用一个分 段的低次多项式去近似被插函数. 一 分段一次插值 把插值区间[a , b]分成个n个小区间 , 在每一个小区间 上做一次插值: * Th4注 这样我们就用一个分段的一次多项式:去近似被插函数. 其中: 分段一次插值的几何意义就是用一条折线去近似代替原来的 曲线. * 例 类似的有分段二次插值,分段三次插值等. 分段插值的优点是:插值曲线在整体上能够很好地逼近原曲线, 避免了高次插值带来的一些问题. 但分段插值最大的问题是:插值曲线不光滑,在节点处不可导,