第六章离散模型.ppt

第六章 离散优化模型及算法设计 数学建模基地 §6.5 离散优化的几个实例 问题及模型 问题的标准形式为：在地面上存在着n个收站与n个发战，而在通讯卫星上则设置了若干种开关模式。开关模式可用矩阵P=(pij)来表示，若卫星可接收发射站i发射的信息并将信息传送回地面的接收站j时，矩阵元素pij =1，否则pij =0。通讯卫星的接发任务也可用一矩阵T=（tij）来表示，其元素tij为需经通讯卫星传递的由i发点发送到j接受点的信息量的传送时间长度。问题要求求r并设计一组开关模式Pk，k=1, …,r及模式Pk的使用时间λk，使得在完成预定传送任务的前提下各开关模式使用的总时间最短，即要求求解下面的问题： （6.4） 例6.32 设 这是一个有3个发送站与3个接收站的实例，tije在矩阵中给出，例如由发站1传送到收站1的通讯量为了单位时间等。 分析 容易看出，三个发站需传送的时间分别为6、5.5；而三个收站需接收的时间分别为6、3、7。为完成全部传送任务，通讯卫星总传送时间至少应为7单位时间，即的下界为7。 由于技术上的原因，当发站i在发送给收站j信息时，它不能同时发送给别的收站信息；同样，当收站j在接收发站i的信息时，也不能同时接收其他发站发送的信息。这一要求说明，任一开关模式Pk应具有以下性质：（1）Pk的每一行中有且只有一个1，每一列中也有且只有一个1；（2）所有的1均位于不同的行列中。 满足（1）、（2）的矩阵 被称为置换矩阵，n阶置换矩阵Pk共有n!个，当n较大时，我们不可能在通讯卫星上设置这么多种不同的开关模式。因而，为了设计出切实可行的开关模式，我们还得另想办法。 （设计方法1） 注意到Pk每行（或列）元素之和均为1，故不管如何指派开关的使用时间（即不论如何取λk），矩阵 均具有某些特殊的性质，例如其行和（及列和）均为同一常数。这样的矩阵构成一个线性空间（参见逻辑模型第一节 Dürer魔方），为减少开关模式的种类，可取此空间的一组基底作为开关模式。在使用这种开关模式时，无论T的元素tij怎么取，通讯卫星对每一发（收）点的开通时间总和是恒定的。在这种开关模式下，可按如下方式指派各开关模式的使用时间： 步1 先将T改变为 ， 满足： （1） ≥T （2）记 ， 步2 用Pk表示 ，即将 分解为 （r为空间的维数） 将T化为 的方法一般有无穷多种，如可如下化法： 令 事实上， ，（即通讯卫星传送总时间的下界）。 令 其中 用这种方法化例9.39中的T，得到 的任一行（或列）中元素之和均为7。 定义6.13 称行和、列%%和均相等的矩阵为双随机矩阵（Doubly stochastic matrix） 定理6.24 （Birkhoff定理，1944）任一n阶双随机矩阵均可写成至多 （n－1）2+1个置换矩阵的非线性组合。 的分解可如下进行： 步1 选取由Pij0可推出 0的置换矩阵P 步2 确定 步3 取 ，用 － 代替 步4 若 =0，停；否则，返回步1。 例6.33 为方便起见，我们来分解一个元素均为非负整数的3阶双随机矩阵， （由Birkhoff定理，r≤5） 解：取 ，λ=min {1, 3, 3 } =1 分解成 ，再取 因min{ 5, 5, 3} = 3，又有 ，取 于是又有 易得分解结果为： 尚需解决的问题是如何求P，使得Pij0必有 。读者不难发现，此问题可以通过求解一个两分图上的最大流（或最大匹配）来实现，计算量为O(n4)，是多项式时间可解的。具体方法为：作一两分图，若 ，则作边（i, j），令边容量为1，这样，可作出P的充要条件是该最大流问题的最大流量为n。对例9.33，n=3。由于所有 ，先取 ， －P1为 相应的两分图为： 于是又可求得 ，相应的两分图为： 又可得 ，…，如此下去，直到作不出P为至， 由于 的特殊性质及Birkhoff定理，上述分解必能在不超过r= (n－1)2 + 1步内终止。 上述开关设计方法要求在通讯卫星上设置(n－1)2 + 1种不同的开关模式（即Pk），当n稍大时，(n－1)2 + 1仍显得太大而使得使用时不便。