第四节无穷大和无穷小.ppt

第四节 一、无穷大 二、无穷小 * 无穷大与无穷小 第四节 第二章 二、 无穷小 四、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷大 无穷大与无穷小 三、无穷小的运算性质 X 0 Y 绝对值无限增大的变量叫无穷大. 定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 精确定义： 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意: （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变 量未必是无穷大. 例如：数列 是无界的，但并不是无穷大 （4）无穷大是相对而言的概念，和极限过程有关。 例如： （2） 证: 得证. 证 定义: 例如, 注意： （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）无穷小也是相对而言的，也和自变量 的变化过程有关. 1、在同一极限过程中，两个无穷小的和仍是无穷小。 三、无穷小的运算性质 定理 证略. 推论 在同一极限过程中有限个无穷小的和仍是 无穷小. 注意　无穷多个无穷小的和未必是无穷小. 此定理表明极限的概念可以由无穷小概念来阐述 例 解 先变形再求极限. 3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 2、在同一极限过程中，有限个无穷小的乘积仍然是无穷小. 例 例 解 注：无穷大不具有类似的一些性质. 四、无穷大和无穷小的关系 定理 （倒数关系） 此定理表明关于无穷大的讨论都可以归结为无穷小的讨论. 证： 例： 解： 例： 证： * * * 例 证明 . ,欲使, 即 , 当时,恒有. 所以取, 错误解法: . 精确定义：如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数),使得对于适合不等式(或)的一切,对应的函数值都满足不等式 , 那末 称函数当(或)时为无穷小,记作 精确定义：设函数在某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数(不论它多么大),总存在正数(或正数),使得对于适合不等式(或)的一切,对应的函数值总满足不等式 , 则称函数当(或)时为无穷大,记作 例 .