§892多元函数的极值.doc

§8.9多元函数的极值 一、极值 1．二元函数的极值的定义 定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于点 的点，如果都适合不等式，则称函数在点有极大值；如果都适合不等式，则称函数在点有极小值。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点极值点。 例如，函数在点处有极小值。 函数在点处有极大值。 二元函数的极值的概念可推广到元函数。设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于点的点，都适合不等式（），则称函数在点有极大值（极小值）。 2．定理1（极值存在的必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则必有 ，。 证明：不妨设在点处取得极大值。则对于点的 某邻域内异于点的点，都有。 特殊地，取， 的点，则应有。 这表明一元函数在点处取得极大值，故必有。 类似地可证。 定理1可推广到元函数。 同时满足，的点称为函数的驻点。 注意： 可导函数的极值点驻点 例如，点为函数的驻点，但不是函数的极值点。 3．定理2（极值存在的充分条件） 设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数， 又，， 记，， ，则 在点处是否取得极值的条件如下： （1）当时有极值， 且当时有极大值，当时有极小值； （2）当时没有极值； （3）当时可能有极值，也可能没有极值。 4.求函数的极值的步骤 （1）求偏导数，，，，； （2）解方程组，求出一切驻点； （3）对于每一驻点，求出，， 的值； （4）定出的符号，按定理2的结论判定出是否是极值、是极 大值还是极小值。 例1．求函数的极值。 解：， ∴驻点为（0，0），（1，1）。 。 （1）在驻点（0，0）处， ， ∵, ∴函数在点（0，0）无极值。 （2）在驻点（1，1）处， ， ∵, 且， ∴函数在点（1，1）有极小值f（1，1）＝-1。 二、最大值及最小值 有界闭区域上连续的函数一定有最大值和最小值。若使函数取得最大值或最小值的点在区域的内部，则这个点必然是函数的驻点，或者是一阶偏导数中至少有一个不存在的点，然而最大值和最小值也可能在该区域的边界上取得。因此，求有界闭区域上二元函数的最大值和最小值时，首先要求出函数在内的驻点、一阶偏导数不存在的点处的函数值及该函数在的边界上的最大值和最小值，比较这些值，其中最大者就是该函数在上的最大值，最小者就是该函数在上的最小值。 在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数在区域内一定有最大（小）值，而函数在内只有一个驻点，那么可以断定该驻点处的函数值就是函数在上的最大（小）值。 例2.求函数在圆域的最大值和最小 值。 解： ， ， 得圆域内的驻点（1，0），，在圆域的边界上有， ∴在圆域上，。 例3．某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱的长为，宽为，则高。 此水箱所用材料的面积， 即。 令，解之得， ∵函数在定义域内只有唯一的驻点, 又由问题的实际意义可知,函数在定义域内一定有最小值， ∴当水箱的长和宽均为，高为时，水箱所用的材料最省。 例4．有一宽为24厘米的长方形铁板，把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形 的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：设折起来的边长为，倾角为， 则梯形断面的下底边长为， 上底边长为，高为，断面面积为 ，即 ， 其定义域为， 令， ∵，， ∴有 由(1)得 (3) (3)代入(2)得： ， ，（舍去），。 ，。 由题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在内取得。通过计算可知时的函数值比，时的函数值为小，又函数在只有唯一驻点，故可以断定当，时，能使断面面积的最大。 三、条件极值 对自变量仅仅限制在函数的定义域内，此外无其他约束条件的极值问题，称为无条件极值。但在实际问题中，常会遇到另一类的极值问题，即对函数的自变量还有附加条件。例如求表面积为而体积为最大的长方体。设长方体的长、宽、高为，则体积，又因表面积为，故自变量还必须满足条件，这就是对自变量的附加条件。像这类对自变量有附加条件的极值问题称为条件极值。 1．条件极值 在条件的限制下，求函数的极值，叫做条件极值问题，方程叫做约束方程。 2．拉格朗日乘数法 设和在所考虑的区域内具有连续的一阶偏导数，且。由方程所确定的隐函数为，则 ，， 将代入得， ， ， 由极值存在的必要条件得