第二章01离散随机变量.pptVIP

概率论与数理统计 * * * 第二章 随机变量的分布和数字特征 例 假设在投掷硬币的试验中，如果正面朝上，你将获得1元；如果反面朝上，你将损失一元。问在一次试验中，你会获得（或损失）多少钱？ 正面 1元 概率p=0.5 反面 -1元 概率p=0.5 为了深入全面地研究随机现象，充分认识随机现象的统计规律性，使定量的数学处理成为可能，必须将随机试验的结果数量化。 2.1、随机变量的直观意义与定义 定义：设 是随机试验E的样本空间。如果对于每一个样本点 为随机变量。 有一个实数 与之对应，则称实值函数 为什么叫做随机变量？ 例：掷一枚均匀的硬币， 表示正面朝上， 表示反面朝上， 则 定义 得到一个随机变量 在同一个样本空间上，可以定义多个随机变量。 上例中：定义 得到另一个随机变量 从数学上讲，随机变量是试验结果的一个实值函数 样本空间 Ω 随机变量 X 实数轴 x 随机变量用英文大写字母X,Y,Z表示，也可用拉丁字母　　　　 随机变量 总是联系着某一样本空间。为了书写方便， 通常不写样本空间，并且将 简写成 等表示。 在一个随机试验中，定义了随机变量之后，随机事件就可以用以一个数的集合（包括区间）来表示。 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 实数轴 随机变量： X=两次所得最大点数 1 2 3 4 5 6 例：一枚骰子连续掷两次，随机变量X是两次所得的最大数。 事件{X=3}表示： 例（教材P48）一批产品的次品率是15%，从中随机地抽取一个产品进行检验，观察产品是否为次品。 —抽到次品, —抽到正品 样本空间： 引入随机变量： 表示 即 因此： 同理： 随机变量的例子： a)在两次抛掷一枚骰子的试验中，下列例子是随机变量： （1）X两次抛掷骰子所得的点数之和； （2）两次抛掷骰子所得的点数之和的平方； ·随机变量的函数定义了另一个随机变量 b)随机变量X表示“灯泡的寿命（小时）”，则： {X1700}表示事件“寿命大于1700小时” 事件“寿命在1500~1700之”可表示为区间：[1500，1700] 若一个随机变量的值域（随机变量的取值范围）为一个有限集合或可数无限集合，则称这个随机变量为离散的 若一个随机变量可以取到不可数无限多个数，则这个随机变量就不是一个离散的随机变量。 本节只讨论离散随机变量。 2.2 分布列 设离散型随机变量 X 的一切可能取值为 且取各个值的概率为 则称 为离散型随机变量 X 的概率函数或概率分布或分布列。 通常可用列表的形式更为直观的表示： X 显然， 满足如下两个条件： 样本空间 Ω 事件 {X=x} 例（教材P50）一批产品的次品率是15%，从中随机地抽取一个产品进行检验，观察产品是否为次品。 解： 定义随机变量 则 0.15 0.85 P 1 0 X 分布列为 例（教材P51）袋中有5个黑球3个白球，每次抽取出一个，不放回，直到取出黑球为止，试求取出的白球数X的分布。 解: X＝0，1，2，3， P(X=0)=p{第一次取到黑球}=5/8 P(X=1)=P{第一次取到白球,第二次取到黑球}=3/8×5/7=15/56 P(X=2)=P{第一、二次取到白球,第三次取到黑球} =3/8×2/7×5/6=5/56 P(X=3)=p{前三次取到白球而第四次取到黑球} =3/8×2/7×1/6×1=1/56 随机变量 X 分布列的计算 对每个随机变量 X 的值 x： （1）找出与事件{X=x}相对应的所有实验结果。 （2）将对应的试验结果的概率相加，得 6 5 4 3 2 1 实数轴 随机变量： X=两次所得最大点数 1 2 3 4 5 6 例 掷两枚均匀的骰子，随机变量X=两次所得最大点数，X的可能值为1,2,3,4,5,6,对于给定的x，计算概率，只需将X取值为x的所有试验结果的概率相加。 例如： 1 2 3 4 5 6 例（教材P51） 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯，每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(设各信号灯的工作是相互独立的）。求X的概率分布 P(X=3)={顺利通过三盏信号灯}=1/2 ×1/2 ×1/2=1/8 P(X=2)=P{第三盏信号灯前停下}=1/2 ×1/2 ×1/2=1/8 P(X=1)=P{第二盏信