多元函数分析性质之间的关系.docVIP

多元函数分析性质之间的关系 本文主要介绍了二元函数连续性，偏导性存在及可微性的基础知识，对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论，总结出这三个概念之间的关系，并举出例子加以论证支撑。由浅入深，从简单开始，逐步深入，做深入探究多元函数连续性，偏导数及可微性之间的关系。 一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义 （一）二元函数的连续性 定义 1 设为定义在点集上的二元函数，(它或者是的聚点，或者是的孤立点）。对于任给的正数，总存在相应的正数，只要（;),就有 , 则称在上任何点都关于集合连续，在不误解的情况下，也称在点连续。 若在上任何点都关于集合连续，则称在点连续。 由上述定义知道：若是的孤立点，则必定是关于的连续点；若是聚点，则关于在连续等价于 （二）二元函数的可微性 定义2 设函数在点的某领域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量表示为, 其中,是仅与点有关的常数，，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称上式中关于，的线性函数为函数在点的全微分，记作 由上可知是的线性主部，特别当，充分小时，全微分可作为全增量的近似值，即 有时也把写成如下形式，这里 二元函数的偏导数 由一元函数微分学知道：若其中。同样，若二元函数在点可微，则在处的全增量可由表示。现在讨论其中、的值与函数的关系。为此，在式子中令，这时得到关于的偏增量，且有或者 现让，由上式得的一个极限表达式 容易看出，上式右边的极限正是关于的一元函数在处的导数。类似地， 令， 由又得到 ，它是关于的一元函数在处的导数。 综上所述，可知函数在点处对的偏导数，实际上是把固定在，让有增量，如果极限存在，那么次极限称为函数在点处对的偏导数，记作。 因此，二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，可定义如下： 定义 3 设函数.若,且在的某一领域内有定义，则当极限 存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作或 注意 1 这里符号，专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号相仿，但没有差别。 注意 2 在上述定义中，在点存在关于的偏导数，至少在上必须有定义。 若函数在区域上每一点都存在对（或对）的偏导数，则得到函数在区域上对（或对）的偏导函数（也简称偏导数），记作 或 也可简单的写作或 二元函数三个概念的结论及证明 （一）二元函数连续性的结论总结及证明 一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数来说，即使它在某点即存在关于的偏导数，又存在关于的偏导数，也未必在点连续，如下定理有： 定理 1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在内有界，则在点连续。 证明：任取,则 （1） 由于在存在，故对于取定的，作为的一元函数在以和为端点的闭区间上可导。从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理，存在，使 将它代入（1）式，得 （2） 由于,故有界，因而当时有 又据定理的条件知，在连续，故当时，又有 所以，由（2）知，有 这说明在点连续。 推论 1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在点连续，则在点连续。 证明 由于在点连续，故必在点的某邻域内有界，因而据定理1，在点连续。 推论 2 设函数在点的某邻域内有定义，若在有界，存在，则在点连续。 证明：由于存在，故作为的一元函数在点连续，从而据定理1可得，在点连续。 同理可证如下的定理2及其推论。 定理2 设函数在点的某邻域有定义，在内有界，作为的一元函数在点连续，则在点连续。 推论 1 设函数在点的某邻域内有定义，在点内有界，存在，则在点连续。 推论2 设函数在点的某邻域有定义，在点连续，存在，则在点连续。 二元函数可微性的结论总结及证明 众所周知，一元函数中，可微性与可导是一回事，但在二元函数中情况就不同了。 定理3 函数在点科委的充分必要条件是在点的两个偏导数都存在，且对，，当 证明 必要性 已知在点可微，故与存在，且 其中 即 于是，当时，有 从而当（即）时， 即，当与且时，有 所以，，当与且时，有 。 充分性 已知函