大连理工大学2015考研专业课数学分析.docVIP

课程教案（7） 一元微分学 3.1本章知识串讲 .2本章重难点总结 当函数本身不是明显的基本公式形式给出时,可考虑对函数进行适当变形,然后再利用公式直接计算. 利用数学归纳法: 先估算前几阶的导数,从中寻找出一般的规律,再用数学归纳法加以证明 利用Leibniz公式 利用Leibniz公式时,应将所要求导的函数写成两项乘积的形式,再利用上述公式直接得出结果,或者得出导数的递推关系式. 用递推公式求导:当高阶导数无法直接求出时,可考虑先求出倒数的递推公式,方法是先求前几阶的导数关系,然后设法将等式作适当处理,使两端同时求导时,能得到一般的递推关系 微分中值定理 Rolla定理 函数的零点性问题 借助介值性定理求解(连续函数有介值性,导函数也有介值性) 借助Rolla定理求解. b.证明中值问题:构造不同的辅助函数,应用Rolla定理,可以导出不同的中值公式 二Lagrange定理 三Cauchy定理 中值定理证明中的辅助函数的构造.(这个方法是非常重要的,后面会去例子说明这种方法) 证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理时,通常要引进辅助函数,并对这一辅助函数应用Rolla中值定理,以此推出两个中值定理. 这些巧妙的辅助函数十如何构造出来的?一些教材上从几何意义上解释了辅助函数的构造方法,优点直观,易于理解,但如果遇到问题本身的几何意义不明显,用这种方法就很难奏效,下面我们从分析的观点讨论辅助函数的构造方法. 事实上,通过上面的分析我们得到的一般的构造函数的方法就是把要证的结果做个变换后移到一边去,然后只要求出左边部分的原函数就可以了. Taylor公式 这部分的内容主要讨论带Lagrange余项与带有Peano余项的Taylor公式在解题中的若干应用,为此我们会在后面取部分的例子帮助大家复习. 不等式 a.利用单调性证明不等式 b.利用微分中值定理证明不等式 c.利用Taylor公式证明不等式 洛必达法则与极限计算技巧 LHospital法则适用于未定型的极限计算.所谓未定型极限,是指,以下几种极限类型: 其中前两种是LHospital法则计算极限的主要类型,后几种均可通过适当的变形转化为前两种的类型. 在应用LHospital法则计算极限时,应注意几个问题 第一,每计算一步须审查函数是否满足LHospital法则所要求的条件,特别是所求极限是否具有未定型的形式,若不再是未定型,自然不能再用LHospital法则 第二,注意LHospital法则的应用条件 3.2.2本章重难点讲解 【例题1】 【例题】 【例题】 【例题】 【例题】 【例题】 3.3本章 分析:类似于这种类型的不等式的证明问题,一般的都是利用函数单调性做出证明.先根据所给的不等式(或经过变形后的不等式)构造合适的辅助函数f(x),并利用函数的单调性得出判断,具体的证明思路见我们下面的证明. 分析:类似于这种类型的不等式的证明问题,一般的都是利用函数单调性做出证明.先根据所给的不等式(或经过变形后的不等式)构造合适的辅助函数f(x),并利用函数的单调性得出判断,具体的证明思路见我们下面的证明. 一元函数积分学 这个公式特别的重要,需要非常熟练的记住.它对于后面的关于多重积分的计算是非常有帮助的. 积分的对称性 可积性 定积分的性质 4.2.2本章重难点讲解 【例题1】【例题】 在后面的典型题库中我们还会继续举一两个这方面题目的例子。 利用积分上限函数来证明积分不等式的问题 在上一章我们已经接触了很多可以利用函数的导数来研究函数的不等式问题，而对于一类的积分不等式问题，我们也可以通过构造要证问题的积分的上限函数，然后通过对这个积分上限函数的导数来研究这个函数的单调性等性质，从而达到证明不等式的目的，下面我们在此举例说明这种方法，请大家重点掌握，因为，这部分的证明是这一章的重点，也是考点比较多的部分 【例题】 【例题】 【例题】 4两道关于积分函数的零点问题的方法 【例题】 【例题】 5。Schwarz不等式 Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz不等式，它可以通过积分定义，直接由Cauchy不等式推出，也可仿照Cauchy不等式的证明类似的证明 Schwart不等式的应用 应用Schwart不等式，可以证明另外一些不等式，使用时要注意恰当的选取函数f(x),g(x) 【例题】 本章 【例题】 【例题】