如何求三角函数的解析式.docVIP

高中数学：如何求三角函数的解析式 河南周口三中，牛俊波 电话 QQ：983284983 1，若函数f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)=cos3x+sin2x，求当x＞0时f(x)的表达式。 解：x＞0，→－ x＜0，则有f(－x)=cos3(－x)+sin2(－x)=cos3x－sin2x。又f(x)为奇函数，f(－x)=－ f(x)，即f(x)=－ f(－x)= sin2x－cos3x。 2，将函数f(x)=sin2x的图像向左平移个单位，再向上1个单位，求所得图像的表达式。 解：将f(x)=sin2x向左平移个单位，→f(x)=sin2(x+)=cos2x，再向上1个单位，→f(x)=cos2x+1=2cos2x。 3，把函数f(x)=cos(2x+)图像上的各个点向右平移个单位，再把横坐标缩为原来的一半，纵坐标扩大5倍，最后各点向下3个单位，求所得图像的表达式。 解：将f(x)=cos(2x+)向右平移个单位，→f(x)=cos[2(x－)+]=cos(2x－)，将f(x)=cos(2x－)的横坐标缩为原来的一半，→f(x)=cos(4x－)，将其纵坐标扩大5倍，→f(x)=5cos(4x－)，再向下3个单位，→f(x)=5cos(4x－)－3。 4，已知函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图像与x轴交点中，相邻两交点间的距离为，且图像上的一个最低点M(，－2)。①求该函数的解析式；②当x∈[，]时，求该函数的值域。 解：①由最低点知A=2，由图像与x轴的相邻两交点的距离为可知，其周期T=2×=π。又T=，ω=2，那么y=2sin(2x+φ)。由M的坐标知，－2=2sin(2×+φ)，2×+φ=2kπ－，φ=2kπ－，由于0＜φ＜，φ=。函数的解析式为：y=2sin(2x+)。 ②由≤x≤，得≤2x+≤，当2x+=时，y最大为2，当2x+=时，y最小为－1。函数的值域为，y∈[－1，2]。 5，在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，①求函数y=f(x)的解析式及定义域；②求y的最大值。 解：①由已知知A+B+C=π，A=，B+C=，B＞0，C＞0，所以0＜x＜。由正弦定理得：，→AC=BC×sinx/sin=4sinx。同理：AB=BC×sinx/sinC=4sin(－x)。 y=AB+BC+AC=4sin(－x)+2+4sinx(0＜x＜)。 ②y =4sincosx－4cossinx+2+4sinx=4(cosx+sinx+sinx)+2 =4(cosx+sinx)+2=4sin(x+)+2。 当x+=，x=时，y有最大值：6。 6，已知函数f(x)= Asin(x+φ)(x∈R，A＞0，0＜φ＜π)的最大值为1，图像过点M(，)，①求f(x)的解析式；②已知α、β∈(0，)，且f(α)=，f(β)=，求f(α－β)的值。 解：①由最大值知A=1，由图像过点M得：sin(+φ)=，又0＜φ＜π，+φ=或+φ=，φ=－(舍去)或φ=。故f(x)= sin(x+)=cosx。 ②f(α)=，即cosα=；f(β)=，即cosβ=。因α、β∈(0，)，可得sinα=；sinβ=，所以f(α－β)= cos(α－β)=×+×=。