25.5.3切线长定理课件.ppt

* 过⊙O外一点作⊙O的切线 O · P A B O 作法: 1.连接OP. 2.以OP为直径作圆,设此圆交⊙O于点A、B. 3.连接PA、PB. 则直线PA、PB为所求. 一、切线长定义 从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点间的线段长叫做这点到圆的切线长. · O P A B 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论. A P O 。 B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点, ∴OA⊥PA，OB⊥PB , 即∠OAP=∠OBP=90°. ∵ OA=OB，OP=OP, ∴Rt△APO≌Rt△BPO (HL) ∴ PA = PB , ∠APO=∠BPO. 试用文字语言叙述你所发现的结论 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条 切线的夹角. 二、切线长定理 A P O 。 B 几何语言: 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法 A P O 。 B M 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点, ∴PA = PB , ∠APO=∠BPO. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, ∴OP垂直平分AB. A P O 。 B 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点, ∴PA = PB , ∠APO=∠BPO. 又∵PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB , ∴AC=BC. C 例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系. OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP . （3）写出图中所有的全等三角形. △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP , △AOB . （5）若PA=4、PD=2，求半径OA. （2）写出图中与∠OAC相等的角. ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. 。 P B A O （3）连结圆心和圆外一点. （2）连结两切点; （1）分别连结圆心和切点; 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 例2、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC。 D A B C O G H E F 证明:∵AB、BC、CD、DA都与⊙O相切,E、F、G、H是切点. ∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH. ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. 即 AB+CD=AD+BC. 结论: 圆外切四边形的对边和相等. 例3.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm. (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数. C · O P B D A E 解:(1)连接OA、OB、OE, ∵PA、PB分别是⊙O的切线,A、B、E为切点. ∴△PCD的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB =PA+PB=7+7=14(cm) . ∴DA=DE,CB=CE, ∴DC=DE+CE=DA+CB. ∴OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥DC. C · O P B D A E (2)∵PA、PB分别是⊙O的切线, ∴DA=DE,∠ADO=∠EDO. 在四边形APBO中,∠AOB=180°－∠P=134° ∴DA、DE 为⊙O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. 又∵DO=DO，∴△AOD≌△EOD， ∴∠AOD=∠EOD. 同理 ∠BOC=∠EOC. ∴∠DOC =∠DOE+∠COE=