概率论与数理统计第5章.pptVIP

* 设随机变量X有期望E(X)和方差 ,则对于任给?0, 1.切比雪夫不等式 第5章 大数定律与中心极限定理 证明:(就连续型) 设随机变量X的密度函数为:f(x) ＝ ?2 ?2 由切比雪夫不等式可以看出，?2越小，则事件{|X-E(X)|?}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于?的概率的估计式 . 如取 对于离散型随机变量，只要将上述积分号换为求和号即可得证，留作课后练习 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 即:要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象. 研究大量随机现象,常采用极限形式,由此导致研究极限定理. .极限定理内容广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …， 切比雪夫 则对任意的ε0， 注：书上th1 要求同方差、同期望 证明： ≤k/n 由已知： 由切比雪夫不等式： 故： 设Y1，Y2，…，Yn…是随机变量序列，a为常数，若对于任意正数?有： 则称序列Y1，Y2，…，Yn…依概率收敛于a. 记为：Yn a P 依概率收敛有以下性质： 设：Xn a, P Yn b P g(x,y)在(a,b)处 连续，则：g(x,y) P g(a,b). 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 作为切比雪夫大数定律的特殊情况: 定理2. (独立同分布下的大数定律) 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…, 则对任给 0, 下面的贝努里大数定律，是定理2的特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 引入 i=1,2,…,n 则 是事件A发生的频率 于是有下面的定理： 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数， p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理3（贝努里大数定律） 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 或： 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 定理4：设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， (辛钦大数定律) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 我们介绍均值法，步骤是 1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N n=1,2,…,N 即 3) 用平均值近似积分值 求 的近似值 大数定律的应用： 因此，当n充分大时， 原理: 设X~U(0, 1) 由大数定律 2. 中心极限定理的客观背景 实际问题中,常需考虑许多随机因素产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明,若一个量受大量相互独立的随机因素的影响所,而每个因素在总影响中所起的作用又不大. 则这个量一般服从或近似服从正态分布. 定理5： (独立同分布下的中心极限定理) 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则 定理6(棣莫佛－拉普拉斯定理） 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量