巧用空间向量解空间问题举例〔0〕.docVIP

巧用空间向量解空间问题举例 　　　　　　　　　　广西蒙山中学　刘立新 用向量方法探求立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革特点，而建立适当的空间坐标系,充分利用空间向量的数量积,使问题模式化,增强解题过程的可操作性,降低了问题的难度,使不少复杂的几何推理及计算可借助向量法使其模式化,用机械性操作加以实现,避开了一些麻烦的推理,这一切都较“平移是手段,垂直是关键”的纯几何方法简捷得多且使解答过程顺畅乃至简捷. 可在高中新教材第9.6.3“夹角与距离”中虽介绍了平面的法向量,可遗憾的是课本对“用空间向量求出二面角后如何确定该角是钝角还是锐角”等一些关键知识没有进行详细的说明与举例，且习题中也并未对此给予应用。若我们对法向量有一个深刻的理解后,在全国数学高考中每年必考的 “夹角与距离”的问题都能得到满意的解决。因此本文旨在抛砖引玉,希望能引起同行的重视,并在教学过程中能加以利用. 求距离问题 1、求异面直线间的距离 　　用向量法求异面直线间的距离的理论依据是：如图1已知直线a,b是两条异面直线, 作直线a的平行线a’与直线b相交于点O,经过b,a’有一个平面,则异面直线a,b的距离即为直线a到平面的距离AB.设C为平面上任一点, 的法向量为,则在法向量上的投影长即为AB的长.即有=｜COS｜=　　　　图1 例1 如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱CD的中点，求异面直线A1C1和B1E的距离。 解：以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），C1（0，2，2），B1（2，2，2），E（0，1，0），， ，设是异面直线A1C1和B1E的公垂线的一个方向向量，则， ，令，得，　　　　　　　　　　　　图2 　　　　　　　　 异面直线A1C1和B1E的距离 2 求点到平面的距离 利用向量方法求点到平面的距离的理论依据：设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且。则点P到平面的距离为。 例2、 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=3，E、F分别是棱B1B、DC的中点，求点E到平面A1FD1的距离。 解：如图3，以D点为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，3），D1（0，0，3），F（0，1，0），E，，，设平面A1FD1的法向量为 由，，得， 令z=1得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3 又，点E到平面A1FD1的距离为== 求角 1.面直线所成的角 用向量法求异面直线所成的角的理论依据：设是异面直线，分别是直线上的向量，则异面直线所成的角 例3、如图4，直棱柱中，已知，AB=a，BC=b，BB1=c，M、N分别为 B1C1和AC的中点。求异面直线AB1与BC1所成的角。 解：以B为原点，BA、BC、BB1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B1（0，0，c），C1（0，b，c），　　　　　　　　　　　　 　　　　 所以，异面直线AB1与BC1所成的角为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4 2．求直线与平面所成的角 用向量法求直线与平面所成的角的理论依据：(如图5) 设平面的一个法向量为，与平面所成的角为， 则。　　　　　　　　　　如图5　　　　　　 例4、（2006全国全Ⅰ.理）如图6，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。 （Ⅰ）证明⊥； （Ⅱ）若，求与平面ABC所成角的余弦值。 解：如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有 A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (Ⅰ)∵MN是 l1、=(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB. (Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ0). ∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= , ∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH,则=(－1,, ), ∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC, ∠NBH为NB与平面ABC所成