平面向量的方法技巧和易错题剖析.docVIP

平面向量的方法技巧及易错题剖析 1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定； （2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若?0，且?=0，不能推出=。因为其中cos?有可能为0； （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c。但是?= ?； 如右图：?= |||cos? = |||OA|，?c = ||c|cos? = |||OA|?? =?，但 ?； (5)在实数中，有(?) = (?)，但是(?)? (?)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。 2．平面向量数量积的运算律 特别注意： （1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到； （3）=0不能得到=或=。 3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直； 4．注重数学思想方法的教学 ①．数形结合的思想方法。 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。 ②．化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。 ③．分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 （一）平面向量常见方法技巧 方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题 特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。 例：化简下列各式：①； ②； ③； ④。结果为零向量的序号为___________。 方法二：强化运用向量加法法则 例：已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ） A. B. C. D. 答案：A 方法三：数形结合思想 例：已知向量、、满足条件，且=1，试判断的形状。 方法四：取特例 例：△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数=_____________。 答案：1 方法五：应用解题 是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。 例：已知a、b均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ） A. B. C. D. 方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题 例1：已知向量、b满足，，且a与b的夹角为，求和。 方法七：三角形形状的判断方法 由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断 已知平面上有互异的四点A、B、C、D，若，则△ABC的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 （二）易错题剖析 【易错题1】若向量a、b满足关系式，则下列结论中正确的是（ ） A. 以、为邻边的四边形是矩形 B. 、中至少有一个零向量或 C. 、中至少有一个是零向量 D. 、均为零向量 答案：B 解题思路：（1）当、均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，与分别是以、为邻边的平行四边形的两条对角线。表明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以、为邻边的四边形为矩形时，； （2）当、中有零向量时，条件显然满足。 综上所述，故选B。 错因分析：误区：错选A。 思考不严密，只注意到了向量、均不为零向量的情形，事实上，当、中有零向量时显然也满足条件。 由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。 【易错题2】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案