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广西科技大学2013—2014学年第 2学期
时间序列分析计算题复习题
1. 设时间序列来自过程,满足
,
其中是白噪声序列,并且,
判断模型的平稳性。(5分)
利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数:,, 。(5分)
解答:(1)其 特征方程为,特征根为,在单位圆外,故平稳!
也可用平稳域法见(P52公式(4.3.11))。
(2)由P57公式(4.4.7)知道
。
2. 某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳(N=500),经过计算样本其样本自相关系数及样本偏相关系数的前10个数值如下表
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.47 0.06 -0.07 0.04 0.00 0.04 -0.04 0.06 -0.05 0.01 -0.47 -0.21 -0.18 -0.10 -0.05 0.02 -0.01 -0.06 0.01 0.00 利用所学知识,对所属的模型进行初步的模型识别。(5分)
对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。(5分)
解答:(1) 样本自相关系数1阶截尾,样本偏相关系数拖尾,
(2) 由于模型有,
。
3. 设是二阶滑动平均模型,即满足,其中是白噪声序列,并且,
求的自协方差函数和自相关函数。
当时,计算样本均值的方差。
解答:(1)
(2)
设是正态白噪声序列,并且,时间序列来自,问模型是否平稳?为什么?
解答: 该模型是平稳的,因为其AR特征方程的根为1.25,大于1。
5.假定Acme公司的年销售额(单位:百万美元)符合AR(2)模型: 其中。
如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元,1100万美元和1000万美元,预测2008年和2009年的销售额。
证明模型里的。
计算问题(a)中2008年预测的95%预测极限。
如果2008年的销售额结果为1200万美元,更新对2009年的预测。
解答: (a)应用P142公式(9.3.28)得
5 + 1.1(10) – 0.5(11) = 10.5(百万美元)
5 + 1.1(10.5) – 0.5(10) = 11.55(百万美元)
(b)由课本54页公式(4.3.21) , ,。
(c)由课本第140页公式(9.3.15)知道:,2008年预测的95%预测极限为,这里
,故,代入后简单计算得2008年预测的95%预测极限为(7.67,13.33)。
(d)由148页更新方程(9.6.1)知 ,所以
(百万美元)
6.设的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84,试求
样本均值;
样本的自协方差函数和自相关函数;
(3) 对模型参数给出其矩估计,并写出模型的表达式。
样本均值。
样本的自协方差函数值和自相关函数值。,而(这里,具体计算略过)
对AR(2)模型参数给出其矩估计,并且写出模型的表达式。Yule-Walker方
,
7.设服从模型:,其中。
给出未来3期的预测值;
给出未来3期的预测值的的预测区间()?。
解答:(1)
(2)应用延迟算子B表达式,我们有。
由(P143公式(9.3.38))知道,。因为故有
,,。所以未来期的预测值的的预测区间为: 。故未来3期的预测值的的预测区间为:
101
101 (0.136,0.332)
102 (0.087,0.287)
103 (-0.049,0.251)。
8.设平稳时间序列服从模型:,其中是白噪声序列,并且,证明:。
证明: 由题意 ,两边求方差得
(因为与相互独立)
(因为平稳)
整理即得 。
9.设平稳时间序列服从模型:,其中是白噪声序列,并且,证明其偏自相关系数满足:。
证明:因为模型偏自相关系数2阶截尾,即当时,。(其一般证明见课本P80页)这里仅证明。
事实上,满足如下Yule-Walker方程:(见课本P81公式(6.2.8)),其中分别为该模型前2阶自相关系数。由课本P52页的公式(4.3.14)和P53页的公式(4.3.15)知:。
于是,解Yule-Walker方程得。
10.设时间序列服从模型:,其中是白噪声序列,并且,证明其自相关系数满足:。
解:方程两边乘以再取数学期望得,整理得
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