微积分下期末复习提纲.docVIP

微积分复习提纲 微分 1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分或者梯度函数 ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4 ④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8 ③由方程组确定的隐函数的导数，（直接法：在方程两端同时对求导，求导过程中把都看做是的函数，然后解方程组即可），见P35例14，P37习题9 ④由方程组确定的隐函数的偏导数（直接法） 见P37习题9 3、多元函数微分学的几何应用 ①空间曲线在点处的切线方程及法平面方程， 见P46 例1，例2， P50习题1、2 ②空间曲线在点处的切线方程及法平面方程 见P46 例3， P50习题2 ③曲面在点处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 4、方向导数与梯度 积分 1、二重积分的计算 步骤：1）画出积分区域， 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分 4）做两次定积分，计算此积分的值 注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。 注：要会做改变二次积分的积分次序，并计算此二次积分的值这种题型，见半期考试试题 2、三重积分的计算 步骤：1）根据题意写出积分区域的边界曲面的方程 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分 3）化三重积分为三次定积分 4）做三次定积分，计算此积分的值 3、曲线积分的计算——化曲线积分为定积分 1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 步骤：①写出积分弧段的参数方程，并确定参数的取值范围 ②根据的参数方程写出弧长元素 ③根据的参数方程化曲线积分为对参数的定积分 2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 方法一：直接化为定积分 步骤：①写出积分弧段的参数方程，并确定的起点和终点对应的参数值 ②根据的参数方程化曲线积分为对参数的定积分： 方法二：利用曲线积分与路径无关及格林公式 步骤：①找出，并求 ②若在一个单连通区域上恒成立，则曲线积分与路径无关，从而我们可以选择平行于坐标轴的折线段计算此曲线积分： 如图选择折线段作为积分路径： ③利用方法一把这两个曲线积分，分别化为两个定积分即可求出，即 ④若在一个单连通区域上恒成立，则曲线积分与路径有关，可用格林公式求解 ⑤添补直线段BC: 和CA: ,则与BC，CA构成一条封闭的曲线，记此闭曲线围成的平面有界闭区域为。如图所示： 利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得： 注：计算曲线积分的时候，一般先用方法一把曲线积分转化为定积分，当这个定积分不容易求解时，就改用方法二求解 4、曲面积分的计算——化曲面积分为二重积分 1)第一类曲面积分(对面积的曲面积分) 步骤：①将积分曲面的方程改写为：； ②画出积分曲面在面上的投影区域； ③根据积分曲面的方程写面积元素： ④化曲面积分为二重积分： 2)第二类曲面积分(对坐标的曲面积分) 方法一：（直接化曲面积分为二重积分） 步骤：①将积分曲面的方程改写为：，并指明此有向曲面取上侧还是下侧； ②画出积分曲面在面上的投影区域； ③化曲面积分为二重积分： 特别地， 注：1）计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值； 2）若此二重积分不好计算或是积分曲面是由几个部分组成，分区面做积分比较麻烦的时候可以考虑利用高斯公式求解。 方法二：利用高斯公式 分情况讨论： ⅰ)若积分曲面是一个取外侧的封闭的曲面，且，，及其偏导数在此闭曲面围成的空间有界闭区域上连续，则由高斯公式有： ⅱ)若积分曲面不是封闭的曲面，则不能直接利用高斯公式，一般需要添补平面：，并指明所取的侧，使得与围成一个取外侧的闭曲面，记此闭曲面围成的空间有界闭区域为，从而： （此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性） 5、多元函数积分学的应用 1）（用于求平面图形的面积） 2）（用于求立体的体积） 3）（用于求曲线的弧长） 4）（用于求曲面的面积） 5）物理应用 无穷级数 常数项级数 1、正项级数的敛散性的判定 步骤： 1) 做极限，若，则此级数发散；若，则2) 2) 根据一般项的形式选择适当的方法判断其敛散性。 2、交错级数或的敛散性的判定 莱布尼兹判别法： ①找到 ②做极限，若，则此交错级数发散；若，则此交错级数收敛。 3、判断一般项级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解：1）判断的